1 運動の第3法則

§７質点系の運動
７．１運動の第３法則（作用・反作用の法則）
７．２質点系の運動方程式
７．３重心運動の法則
７．４運動量保存の法則
７．５重心（座標）系
７．６角運動量保存の法則
７．７質点系のエネルギー
７．８２体問題
７．９ケプラーの法則と万有引力
７．１０２体衝突
７．７質点系のエネルギー
●運動エネルギー
・１質点
Ti =
1
2
mivi2
・質点系
n
T = Σ Ti =
i=1
n
1
Σ mv2
2 i=1 i i
○重心系での運動エネルギー
・１質点
ri = ric+rc
vi = vic+vc
Ti = 12 mivi2 = 21 mi(vic+vc)2 =
1
2
≡ 12
=
Tic
mivic2 + pic⋅vc +
1
2
mivic2
1
2
mivic2 + mivic⋅vc +
mivc2 = Tic + pic·vc +
1
2
1
2
mivc2
mivc2
：重心系での運動エネルギー
・質点系
n
n
i=1
i=1
T = Σ Ti = Σ (Tic + pic·vc +
= Tin + Pc·vc +
1
2
Tc ≡
1
2
n
i=1
i=1
n
1
Σ mv 2
2 i=1 i c
2
（∵ Pc= 0）
n
Tin ≡ Σ Tic = Σ
i=1
n
mivc2) = Σ Tic+ Σ pic·vc +
Mvc = Tin + Pc·vc + Tc
= Tin + Tc
n
1
2
1
mivic2
i=1 2
P
：内部運動の運動エネルギー
2
Mvc2 = 2M
（∵
P = Mvc）
：重心運動の運動エネルギー
●位置エネルギー
○外力
・１質点
質点 i が単独に存在しているときの位置エネルギー：Ui0(ri)
Fi0(ri) = − gradiUi0(ri)
★ gradi は、ri に関する微分を表す。
∂f
∂f
∂f
gradi f(r1, r2, r3, ···, rn) ≡ ( ∂x , ∂y , ∂z )
i
i
i
・質点系
Ui0(ri)の全ての質点にわたる総和を
n
U0(r1, r2, r3, ···,rn) ≡ Σ Ui0(ri)
i=1
とおくと、
n
gradiU0(r1, r2, r3, ···,rn) = Σ gradiUj0(rj) = gradiUi0(ri) = − Fi0(ri)
j=1
すなわち、
Fi0(ri) = − gradiU0(r1,r2,r3,…,rn)
質点系の外力による位置エネルギーU0(r1, r2, r3, ···, rn) は、各質点が単独に存在していると
きの位置エネルギーUi0(ri) の和である。
［例］重力の位置エネルギー
・１質点
Ui0(ri) = − mi g·ri
・質点系
n
n
n
i= 1
i=1
i=1
U0(r1, r2, r3, ···,rn) = Σ Ui0(ri) = − Σ mi g·ri = − g· Σ mi ri = − g·Mrc = − Mg·rc
全ての質量が重心に集中した場合と同じ（重力中心、本来の意味での重心）。
○内力：２体中心力の重ね合わせ（力の平行四辺形の法則）とする。
（２体中心力；内部自由度をもつ粒子は別（自転、磁石、電流））
・２質点間の力
質点 j が質点 i に及ぼす力：
r
r
r
Fij(ri, rj) = Fij(ri − rj) rij = Fij(rij) rij = Fij(rij) rij = Fij(rij)
ij
ij
ij
rij = | rij |, rij ≡ ri − rj, Fij = | Fij |
・第３法則Ⅱから、Fij は rij に平行。（rij 以外に特別な方向が無い）
・空間の並進対称性から、Fij(ri, rj)は ri, rj の差 rij のみの関数。（原点の選び方に無関係）
・空間の回転対称性（等方性）から、Fij(rij)は、rij の大きさ rij のみの関数。
（空間自身に特別な方向が無い）
・このような力は保存力である。
r
Uij(r) ≡ Uij(r) ≡ −⌠
⌡ Fij(r)dr
：普通の積分
r0
とおくと、
dUij(r)
dr
= − Fij(r)
rij ≡ | rij | =
(xi − xj)2 + (yi − yj)2 + (zi − zj)2
∂ rij
∂ xi
= rij ,
ij
=
xi − xj
rij
∂ rij
∂ xj
x
=−
xi − xj
rij
x
= − rij
ij
であるから、
∂ Uij(rij)
∂ xi
∂ Uij(rij)
∂ xj
=
=
dUij(rij)
d rij
d Uij(rij)
d rij
∂ rij
∂ xj
∂ rij
∂ xj
x
= − Fij(rij) rij = − Fij(rij)
ij
x
x
= − Fij(rij) − rij  = Fij(rij) rij = Fij(rij) = − Fji(rji)
ij
ij
したがって、
Fij(ri, rj) = Fij(rij) = − gradiUij(rij)
Fji(rj, ri) = Fji(rji) = − gradjUij(rij)
・Uij(r)を粒子 i と j の相互作用ポテンシャルという。
gradiUij(rij) = − Fij(rij) = Fji(rji)
gradjUij(rij) = Fij(rij) = − Fji(rji)
gradkUij(rij) = 0
for k ≠ i and k ≠ j
まとめると、
gradkUij(rij) = − Fij(rij) (δki − δkj) = − Fkj(rkj) δki + Fik(rik) δkj = − Fkj(rkj) δki − Fki(rki) δkj
・多質点間の力
すべての組 (i, j) に対する相互作用ポテンシャル Uij(rij) を加えて、
n−1
n
Uin(r1, r2, r3, ···, rn) ≡ Σ
Σ Uij(rij) =
i = 1 j = i+1
n
n
1
Σ Σ U (r )
2 i = 1i = 1 ij ij
とおくと、
gradkUij(rij) = − Fkj(rkj) δki − Fki(rki) δkj
から、
n
gradkUin(r1, r2, r3, ···, rn) =
=−
n
n
1
Σ Σ' F (r )
2 i = 1j = 1 kj kj
δki−
n
n
1
Σ Σ' gradkUij(rij)
2 i = 1j = 1
n
1
Σ Σ' F (r )
2 i = 1j = 1 ki ki
δkj = −
n
=
n
n
1
Σ Σ' [−
2 i = 1j = 1
1
Σ' F (r )
2 j = 1 kj kj
−
Fkj(rkj) δki − Fki(rki) δkj]
n
1
Σ' F (r )
2 i = 1 ik ik
n
= − Σ' Fkj(rkj)
j=1
= − Fk(in)(r1, r2, r3, ···, rn)
すなわち、
n
Fi(in) = Σ' Fij(rij) = − gradiUin(r1, r2, r3, ···, rn)
j=1
・全位置エネルギー
U(r1, r2, r3, ···, rn) ≡ U0(r1, r2, r3, ···, rn) + Uin(r1, r2, r3, ···, rn)
と定義すると、
gradiU(r1, r2, r3, ···, rn) = gradiU0(r1, r2, r3, ···, rn) + gradiUin(r1, r2, r3, ···, rn)
n
= − Fi0(ri) − Σ' Fij(ri, rj) = − Fi0 (ri) − Fi(in)(r1, r2, r3, ···, rn)
j=1
= − Fi(r1, r2, r3, ···, rn)
Fi (r1, r2, r3, ···, rn) = − gradiU (r1, r2, r3, ···, rn)
●エネルギー保存の法則
n
n
Tin ≡ Σ Tic = Σ
Tc ≡
1
2
1
mivic2
i=1 2
i=1
：内部運動の運動エネルギー
Mvc2
：重心運動の運動エネルギー
Fi0 = − gradiU0
：外力
n
Fi(in) = Σ Fij = − gradiUin
：内力
vi = vic + vc
ai = aic + ac
miai = Fi
Mac = F0
miaic = Fi − miac = Fi0 + Fi(in) − miac
：質点の運動方程式
：重心運動の原理
：重心系での運動方程式
i=1
Eex ≡ Tc + U0
Ein ≡ Tin +Uin
とおくと、
dEex
dt
dT
：巨視的な力学的エネルギー
：内部エネルギー
dU
n
d
dr
dv
n
dr
dv
n
= dtc + dt 0 = d t ( 12 Mvc2) + Σ gradiU0· dti = Mvc· dtc − Σ Fi0· dti
i=1
i=1
n
n
= Mvc·ac − Σ Fi0·vi = Mvc·ac − Σ Fi0·(vic + vc)
i= 1
n
i=1
n
n
= vc·(Mac − Σ Fi0) − Σ Fi0·vic = vc·(Mac − F0) − Σ Fi0·vic
i=1
n
i=1
i=1
= − Σ Fi0·vic
i=1
dEin
dt
dT
n
dU
d
= d tin + d tin = Σ d t
i=1
n
n
i=1
n
i=1
1
2
n
dr
n
dr
mivic2 + Σ gradiUin· dti = Σ mivic· d tic − Σ Fi(in)· dti
i=1
i=1
i=1
n
n
= Σ mivic·aic − Σ Fi(in)·vi = Σ mivic·aic − Σ Fi(in)·(vic + vc)
i=1
n
= Σ vic·(miaic − F ) − vc· Σ F
i=1
n
= Σ vic·(Fi0 + F
i=1
n
(in)
i
(in)
i
i=1
i=1
(in)
i
− miac − Fi(in)) − vc·F (in)
= Σ vic·(Fi0 − miac)
（miaic = Fi0 + Fi(in) − miac）
（F (in) = 0）
i=1
n
n
n
i=1
n
i=1
i=1
= Σ vic·Fi0 − ac· Σ mivic = Σ vic·Fi0 − ac·Pc
= Σ vic·Fi0
i=1
（Pc = 0）
すなわち、
dEin
dt
n
dE
= − dtex = Σ vic·Fi0 ：外力が内部運動に与えた仕事（熱の発生に対応）
i=1
（巨視的な力学的エネルギーが保存されない場合の熱の発生に対応）
・質点系の力学的エネルギー（微視的な）
T = Tc + Tin
U = U0 + Uin
E ≡ T + U = Tc + Tin + U0 + Uin = Eex + Ein
Eex ≡ Tc + U0
：巨視的な力学的エネルギー
Ein ≡ Tin + Uin
：内部エネルギー
エネルギー保存の法則
dE
dt
dE
dE
= dtex + dtin = 0
：力学的エネルギー保存の法則

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