ri t( )+Δt ⋅ui t( )

分子動力学法を用いた分子間力を理解するための学生実験福井工業高等専門学校 ○芳賀正和
! dui 1
=
Fi
##
dt mi
(4) "
# dri
#$ dt = ui
である．式 (4) における時間微分をオイラーの陽解
法で離散化する．時間ステップを Δt とすると， #
Δt
%ui (t + Δt ) = ui (t ) + Fi (t )
mi
(5) $
% r t + Δt = r t + Δt ⋅ u t
) i( )
& i(
i( )
となる．なお，実際の計算では，蛙跳び法を適用し
て計算精度を上げている．
数値計算は Fortran プログラムをコンパイルした
実行ファイルで行う．計算結果はテキストファイル
に出力される．計算が終了する度にグラフ作成ソフ
トに読み込んで，グラフとして結果を読み取る．３.二分子運動実験の１つ目は，孤立した 2 個のアルゴン分子の
運動の数値計算である．LJ ポテンシャル曲線を見な
がら 2 個のアルゴン分子の初期の距離 D を自分で決
定し，初期速度 u は 0 とする．計算を始めると，双
方の分子に分子間力が働き，自発的に運動を始める．
このときの分子に働く力,分子の速度および位置の
時間変化を求め（図 1），分子間ポテンシャルと分子
間力および分子の運動の関係について考察する．初
期の分子間距離 D を変えて実験を繰り返し，分子の
エネルギーの大きさによって，固体，液体，気体の
分子運動に変化する様子を観察する． 150
0.40
Posiotion [nm]
100
Force [pN]
１.はじめに福井高専機械工学科４学年の熱力学において，理
想気体の温度，圧力，密度，状態変化の講義を行う
際，分子間力と分子運動の関係を用いて解説してい
る．しかし，初学者にとって，分子間ポテンシャル，
分子の運動エネルギー，分子間力それぞれの関係は，
理解しづらいものとなっている．そこで，４学年の
後期に開講している機械工学実験 I において，上記
の分子運動に関する理解を補助する目的で，分子動
力学法による液滴の生成という数値解析の実験テー
マを設定している．この数値実験を体験することに
よって，気体の状態変化において重要な分子運動論
の理解が進み，さらに計算力学の体験も同時に行え
る．本報告では，この実験テーマについて紹介する．２.数値実験の概要２.１機械工学実験 I 機械工学実験 I は，半期 2 単位（週に 90 分 2 コマ
連続）の科目である．約 40 名の学生を 7 組に分けて
編成し，1 テーマ 2 週として 7 つの実験テーマを 14
週かけてローテションしている．２.２分子動力学法実験では，まず初めに分子動力学法 1)の説明を行
っている．以下に示すように，分子の運動方程式，
分子間力，分子間ポテンシャル，蛙跳び法による数
値計算を順に解説している．分子の運動は Newton の運動方程式で表現され，
分子の質量を m, 分子の速度を u, 時間を t, 分子間
力を F とすると次式になる． du
m
=F
(1) dt
ここで，分子間力 F は，分子間ポテンシャルφ か
ら次式で求まる． ∂φ
F=−
(2) ∂r
アルゴンなどの希ガス原子に用いられる代表的な
分子間ポテンシャルは，LJ（Lennard-Jones）ポテン
シャルで，次式で表される． +$ '12 $ '6 .
σ
σ
φij = 4ε ij -&& ij )) − && ij )) 0
(3) -% rij ( % rij ( 0
,
/
ここで，下添え字 i, j は分子番号を表している．ま
た，ε, σ は LJ ポテンシャルのパラメータで，それ
ぞれ結合エネルギーと分子の大きさを表している．分子 i の運動を記述する方程式は，式 (1) より， 50
0
-50
-100
-150
0.20
0.00
-0.20
-0.40
0
5
Time [ps]
10
0
5
Time [ps]
10
(a)分子間力 (b)分子の位置図 1 二分子運動における分子間力と分子の位置熱力学の講義では，理解の進まない様子が感じら
れるが，この数値実験で初期位置を変えて何度も繰
り返し行うことで，分子間ポテンシャルと分子間力
の向きや大きさとの関係を把握し，分子の動き方を
【連絡先】〒916-8507 福井県鯖江市下司町福井工業高等専門学校機械工学科芳賀正和 TEL:0778-62-8255 FAX:0778-62-3306 e-mail：[email protected] 【キーワード】学生実験，熱力学，分子動力学法，分子間力，数値解析理解している．また，分子間ポテンシャルの谷に対
して，分子の持っているエネルギーの大きさで分子
の動く範囲が変わる様子を観察して理解している．
実験条件である分子の初期の距離 D を自分で決める
ようにしたことで，実験に夢中になって何度も繰り
返し積極的に取り組む様子が見受けられる．４.多分子運動実験の 2 つ目は，孤立した多数の分子を 1 次元上
に間隔 D で配置する．分子数 N と分子間距離 D を実
験条件として，分子運動をシミュレーションし，分
子の位置と系の温度の時間変化を求める（図 2）． Temperature [K]
100
Temp.
的な内容を把握した上で，実験の 3 つ目として，気
体分子を冷却して液滴が生成され，固体になる様子
を数値計算している．一辺 2 [nm] の立方体の箱に 30 個の分子を入れる．
系の初期温度を 100 [K] とし，状態を安定させるた
めの平衡化を 1000 [ps] 行なった後，5 [ps] 間の分子
の位置を記録する．次に，設定温度を 10 [K] 下げ，
1000 [ps] 平衡化したのち，5 [ps] 間記録する．以後，
同様に温度を下げていき，30 [K] となるまで計算を
行う．各温度における分子の軌跡を描いて（図 3），
分子挙動の変化を観察し，系の状態が気体, 液体, 固体のどれに相当するか，相と分子運動の関係を調
査した上で，客観的に判断し，報告書で論述する． Average
80
60
40
20
0
0
100
200
300
Time [ps]
400
500
図 2 10 個の分子における系の温度変化熱力学の講義中に，分子運動と圧力および温度と
の関係について説明している．例えば，体積 V の立
方体の容器中に，N 個の分子が入っているとする．
このときの容器中の圧力 p は， mN 2
p=
u
(6) 3V
である．また，ボルツマン定数を k とすると，分子
の運動エネルギーの総和と絶対温度 T との間には次
式の関係が成り立つ 2)． N
1
3
NkT
(7) 2
i
式 (6), (7) を踏まえながら，計算結果を観察し，
系の温度と分子運動との関係を理解する．各自が設
定した分子間距離 D の値によって分子の持つエネル
ギーの平均的な大きさが決まり，系の運動エネルギ
ーの大きさも決まる．個々の分子の運動は様々に変
化して傾向を捉えることは難しいが，温度は分子の
運動エネルギーの平均であり，時間平均もとれば安
定することが観察できる．式 (7) を見た学生の多く
は，分子数 N が増えれば温度 T も大きくなると勘違
いしてしまっている．これについても実験結果を精
査することで，分子数が増えれば統計平均のバラツ
キが減少し，温度が安定するという正しい理解へと
導くことができる．以上で実験の 1 週目を終了し，
報告書として提出させ，2 週目に添削した報告書を
返却しながら指導をしている．５.液滴の生成実験の 2 週目は，1 週目に行った分子運動の基本
2
i
∑ 2 mu
=
90 [K]
50 [K]
図 3 冷却時のアルゴン分子の軌跡温度が低いときは，分子の運動エネルギーが小さ
く，分子間ポテンシャルの谷から出られないため，
分子間力で分子が凝集して定位置で振動する固体状
態となる．温度が高いときは，分子の速度が速く，
運動エネルギーが大きくなり，分子間ポテンシャル
の谷から脱出するのに充分であれば，分子が自由に
運動できる気体状態となる．固体と気体の中間の状
態が液滴である．冷えて分子が凝集して行く過程で，
分子の軌跡の集合が徐々に球形になっていくことも
確認できる．また，表面張力が分子間力の作用であ
ることも，分子の軌跡を見ることで納得できるよう
である．この内容を講義で理解するのは困難である
が，数値実験を通してじっくりと取り組むことで，
理解を助けている．６.まとめ熱力学の講義における分子運動のしくみの理解を
補助する目的で，学生実験のテーマとして分子動力
学法による数値解析を実施している．黒板を使った
受動的な講義では，理解するまでに至らない学生が
多いが，数値実験として分子の動きを観察し，実験
条件を自分で考えて何度も試行錯誤を繰り返すこと
で，楽しみながら集中して内容の理解に至っている
ように思われる．参考文献 1）日本機械学会：
「原子・分子モデルを用いる数値
シミュレーション」，コロナ社，pp.12-22(1996) 2）押田勇雄，藤城敏幸：
「熱力学（改訂版）」，裳華
房，pp.38-50（1998）

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