第Ⅱ部社会構造概念の彫琢第６章中心性 Social Network Seminar 内容１．グラフ理論による中心概念のモデル２．地位中心モデル３．新しいタイプの中心性モデル４．集団の中心化傾向のモデル 1 中心性分析中心概念に基づいて中心の度合いを尺度化したもの →政治、経済の様々な組織研究において成果を生み出している中心性概念のモデルの種類 • グラフ中心モデル • パワー概念の操作化としての中心性モデル • 伝播現象を意識したモデル 2 １．グラフ理論による中心概念のモデル次数センター：次数中心性によって定義される最も単純な中心モデル点vの次数 deg(vi ) （点に接続する辺の数）はそのまま i 中心性の尺度と見なされる deg( vi ) 次数中心性 C：d Cd (vi )  n 1 3 グラフ・センターいま、vを連結グラフGの点とするとき、vから最も遠い点までの距離を離心数e(v)と定義する →e(v)=max{d(u,v)：u∈V}と表現する。ただし、d(u,v)はu,v間の距離半径r(v)：点の最小離心数直径d(v)：点の最大離心数 e(v)＝r(v)ならば、vは中心点であり、すべての中心点の集合をセンターC(G)と定義される。 e(v)＝d(v)ならば、vは周辺点であり、すべての周辺点の集合を周辺として定義される。 →離心数は、距離行列の各行の最大値 4 メジアン連結グラフGに関して、点vのステイタスs(v)：vからGの他の点までの距離の総和グラフGのメジアンM(G)：最小のステイタスをもった点からなる集合 →施設配置などに有効近接中心性：ある１点から他の１点のステイタスの逆数。 1 n 1  s (vi )  Cc (vi )     s (vi )  n 1  →連結グラフに対してのみ適用 5 切断センター脆弱性に基づいたモデル切断数c(v)：uとwがG-vの異なる成分の中にあるような点対{u,w}の数切断センターCC(G)：最大のc(v)をもったすべての点からなる集合 6 媒介センター媒介値：点 viと v jの各対に対して vkの媒介値bij (vk )は、 vi  v j 測地路の総数に対する、点 vkを含む vi  v j 測地路の比率である。 vkの媒介中心BC(vk )は、すべての対 i, jに対する bij (vk )の総和である。媒介中心BC(G：最大媒介値をもった ) すべての点の集合。 媒介中心点点の媒介値が最大になるとき、その分母は (n 2  3n  1) / 2である。 2 BC(vi ) また、 Cb (vi )  2 n  3n  1 と定式化される。 7 フロー(媒介)・センター  媒介センターを拡張するモデルフロー (媒介)中心性C ：点 vkの i, j媒介値を、 vi  v jを通る f 総フローに対する、点 vkを含む vi  v jを通るフローの比率 １から nまでの異なる点 i, jに対して総和をとる。 n n  f C f (vk )＝ i ij ( vk ) j n n  f i ij j 8 グラフ的中心モデルの比較モデル化の対象次数センター・・・送信性グラフ・センターとメジアン・・・接近のしやすさ切断センター、媒介センター、フロー・センター・・・結合の脆弱性 9 ２．地位中心モデル～パワーと権威付け～カッツ-ハベル・モデル Nをアクターの数、Aをソシオマトリクスとする。Aは選択関係数を表すから、その転置行列A‘は選択される関係数を表す。 uを次元kの単位ベクトルとすると、アクターiの地位(ステイタス)は次のように表せる。 si  A' u →「選択されるものほど中心性が高くなる」という発想 10 カッツ中心性 →「選択される人のランクが高いほど、またそのような人と直接結合しているほど、その人を選択する人のもつ地位が高くなる」 αという緩和パラメータの導入→近い結合を高く、遠い結合ほど低く重み付け si  A   2 A2   N A N  (A) q ただし、 0    1　Iを単位行列とおくとすると、 Si  (A   2 A2    A )'u  [(I  A) 1  I ]'u 11 カッツ中心性実際のスコアの計算においてはs i は、その統計的に漸近される可能性結合数、 n1 1/  m  (n 1)! e nはアクターの数このモデルにおいてαは恣意的であり、値によっては収束しなかったり、マイナスのステイタス・スコアが出てくることもある。 12 地位中心性モデル(ハベル中心性) 地位中心モデル：選択者の地位と、選択する強度の両方を考慮したモデル。 →選択される人のランクが高いほど、またそのような人と直接結合しているほど、またその選択の強度が高いほど、その人を選択する人のもつ地位が高くなるという考え方 si  e1  wi1s1  wi 2 s2    win sn e：グループ外部からこ i のシステムに導入される地位への貢献分 wij  0：アクター s：アクター i iが jを選択する結合強度 iの地位(ステイタス・スコア ) ここでは wijは行に関して行和が 0.5になるように正規化したものである。 13 ハベル中心性行列表記すると次のようになる s  e W 's  ( I  W ' ) 1 e  ( I  W 'W '2  )e カッツのαをモデルより優れている点 • 二項的なものだけでなく、有値のネットワーク・データを扱える • 恣意的にαを調整することなく、wij によって収束が保証されている • 非対称的なネットワーク（ダイグラフ）でも扱える 14 ハベル中心性ハベル中心性を測定し、最大スコアで正規化したとき( もっとも中心的なものが１で表される)、グラフ理論的スコアと異なり、周辺的なアクターでもそれが結合するアクターの中心性によって、非零スコアが与えられ、結合するアクターの地位の高さによって中心性が異なっている。 15 ハベル・モデルの改良～反復ハベルモデル～反復ハベルモデル：外部要素であるeの部分の入力値が、n-1回目の反復値であるとする  第２回の反復値 s2は、 s2  ( I  R' ) 1 s1  ( I  R' ) 1 ((I  R' ) 1 e  I )e 一般に、 sm  ( I  R' )  m 1 ((I  R' ) 1 e  I )e →距離行列の最大値分だけ反復すると、ハベル中心性が求まる 16 ボナチッチ・モデル族とその発展カッツ-ハベル・モデルの洗練化 →中心性＝パワーという考え方ソシオマトリクスの固有ベクトルによって中心性ベクトルを求める方法(カッツ-ハベルモデルの開発前のモデル) rijをアクター iが jを選択する結合強度、 ciはアクター iの中心性、 c jはアクター jの中心性、 を定数とすると、アクター iの中心性はiが rijの強度で結合するアクター jの中心性に比例するというモデルは ci   rij c j , c j rc   ij  j で表せる。 17 ソシオマトリクスの固有ベクトルによって中心性ベクトルを求める方法行列では、 C  RC, C  RC  であるので、 CはRの固有ベクトルを、それに対応する最大固有ベクトル で除することによって求められる。 18 ボナチッチ中心性モデル ex.企業間ネットワーク →兼任取締役×企業として表現企業iの取締役会の規模をd iと表すとすると、企業 ij間の結合強度rijは通常、 rij  bij と定義される。 di d j これによりボナチッチの中心性スコアを求めると、ハベル中心性とほとんど同じパターンを示していることが分かる。 19 中心性の分解モデル反射成分と導出成分の分解モデル・・・アクターが中心性を獲得する様式・間接的な結合によって他のアクターから中心性を引き出す→導出中心性・直接結合するほかのアクターから反射的に戻ってくるような中心性を獲得する→反射中心性 20 中心性の分解モデル ciの反射中心性はRの対角成分に注目し、 C i .2 R  rii ci で表され、導出中心性はRの非対角  成分に注目し、 C i .2 D 2   N r cj j 1, j  i ij 2 で表せる。  この２つの和がボナチッチ中心性の全中心性となる。 cf .　c j rc   ij  j   N r cj i , j ij  反射中心性の比重の高いもの・・・「(準)ハブ」、導出中心性の比重の高いもの・・・「(準)ブリッジ」 cf.コスモポリタンと周辺 21 クックらの研究パワーと構造的な中心性が一致しない例右下図で、実戦間で、２４ポイント、破線間で８ポイントの交換を行う交渉ゲーム →ゲームを進めていくと、ポイントは中心性の高いと思われるＤではなく、Eに蓄積していく。 F F →交換ネットワークの分類付け正結合ネットワーク：一方の関係における交換が他方の関係における交換を促進する場合 F 負結合ネットワーク：交換を阻害する場合混合ネットワーク：両者が入り混じった場合 F E D F E E F 22 中心モデルの改良中心性ベクトルを求める最初の式 ci   rij c jにパラメータαとβを導入した式 ci (α,β)   (αβci )rij j 1を１からなる列ベクトル、 Iを単位行列(すべての成分が１からなる行列 ) とすると、　c(α,β) α( I βR) 1 R1 ここでαは中心性のベクトル cの平方がネットワークのアクターの数と一致するように選ばれるパラメータである。 βは「その内部で中心性を評価したいと思うような半径」である。例えば小さなβはローカルな構造を重視し、大きなβはグローバルな構造を重く見る。βが Rの最大固有ベクトルの逆数の絶対値より小さいときには、 c(α,β) α( R1 βR 21 β2 R 31  ) のような無限和になる βによって長さ２以上の間接結合をさまざまに重みづけている。 23 βと中心性 (1)β=0のとき、c(α,β) αR1 なので、間接的結合を重みづけできず、通常の次数中心モデルと同値 (2)β>0のとき、大きなβはグローバルな構造に、小さな βはローカルな構造に敏感になる。 (3) β<0のとき、Rの偶数ベキは負に、奇数ベキは正に重みづけられるので、直接的な結合は中心性に貢献するが、長さ２の間接的な結合は逆に中心性の減少に作用する。 24 ３．新しいタイプの中心性モデル情報中心性モデルと伝播の統合度・放射性の中心性モデル→(情報・病理の)伝播中心性モデル 25 情報中心モデル情報の反意語・・・”ノイズ” →「情報量」は「ノイズの量の逆数」または「推計値の分散の逆数」情報中心性モデル：情報量を重み付きグラフで測定することによって、点の中心性を測定するモデル 26 情報中心モデル連結グラフネットワークの点対ijを結合するすべての道 Pij (s) において、「情報量」を、通る信号のノイズの逆数と考える。分散はある１点から連結するほかの点への道に長さで表される(長さ自体ではない)。よってネットワークにおけるすべての道の長さが求まれば、情報量も計算できる。アクターの情報中心性はPij (s) に各点iが関わる度合いとして測定できる。 27 情報中心モデル合道：同じ点対を結合する道が複数存在する場合に、その道を最適に重みづけるもの重みづけは各道の情報量の総和が合道の情報量に等しくなり、その和が１となるという意味において最適である。ここで各道の重みを wとし、 kijを iと jを結ぶ道の数とすると、 kij kij s 1 s 1 pij   ws pij ( s),  ws  1 28 図の点１から４への道に関しては、 1 p14 (1)  1 / 2 p14 (2)  1 / 3 p14 (3) 1 1/ 2 1/ 3 情報量I14は1  1 / 2  1 / 3  1.83 p14   その測地線より 1.83倍の情報量を有している 29 システムの求心性と遠心性統合中心性と放射中心性個人の統合性モデルダイグラフの入次数に基づいて測定し、当該個人の関係の受理がネットワークに統合している程度のモデル化放射性モデルダイグラフの出次数に基づいて測定し、それがどの程度多種多様なアクターにアクセス可能にするようにネットワークに到達しているのかのモデル化 30 統合性いま、アクター kの統合性を I (k )、 RD jkをアクター j , kの間の測地線から計算された「逆距離」、ワークのアクターの数 I (k )   RD jk Nをネットとすると、 jk で表される。 N 1 逆距離RD jk： jk間の測地線の長さを g jk、ネットワークの直径を diamとしたとき、 RD jk  diam  1  g jk 31 具体例８アクターからなるダイグラフ距離行列は右図の通り。(直径３) 点２の統合性を求める場合、２列目に注目して、自身と統合していない点５を除き、 2-1,2-3・・・の逆距離を求めていくと、｛3+1-2=2,3+1-2=2,3+1-1=3,…｝この総和13を8-1=7で除し、1.86と求まる。 32 放射性と相対モデル放射性の計算では、入次数が出次数に変わるので、先ほどの列和のところが行和に変わるだけ相対的な尺度として、最大の逆距離によって正規化される相対モデルも提案されている。 I ' (k )  I (k ) max( RD jk ) j ,k 33 相対的な統合性が高いアクターは比較的容易に情報に接近することができ、放射性の高いアクターは比較的容易に情報を送信することができる下図より、例ではアクター４は情報への接近においてもっとも中心的なアクターであり、アクター１は情報発信においてもっとも中心的なアクターである 34 ４．集団の中心化傾向のモデル個人から集団へどの集団がもっとも中心に偏っているか一般的モデル n人から構成されるネットワークにおける C A ( pi )をタイプ Aの中心モデルで測定。アクターの中心性 C A ( p*)を C A ( p*)  MaxCA ( pi ) とすると、  n i 1 [C A ( p*)  C A ( pi )] は、各個人の中心性の観測値の最大値からの差の総和である。 35 一般的モデル先の実測値の偏差の合計を、ネットワークの数学的な性格上から理論的に考えられる最大の偏差で除した割合が、正規化された中心化傾向として測定される。 [C ( p*)  C ( p )]   max [C ( p*)  C ( p )] n C A1 i 1 A A i n i 1 A A i 一方、統計的な標準化の方法に依拠したモデルもある。観察された個人の中心性からその平均を減じ、アクター数で除するというもの。 [i 1 (CA ( pi )  CA2 )] n C A2  n 36 各中心モデルにおける中心化傾向の測定一般モデルでの、max i 1[C A ( p*)  C A ( pi )] に入る式を求めることで、各中心モデルに対して特殊化ができる。 →各モデルにおいて中心性の差が最大になるような場合を探索し、中心性が最低の場合と最高の場合を考えればよい。 n 37 次数モデルの場合中心性が最大になる各点がもっとも中心的な点にのみ接続しているとき (次数１)。中心のもつ最高の中心性は、中心が他のすべての点と隣接する場合(次数n-1)。その差は(n-1)-1=n-2。この差を点i以外の各n-1の点についての総和であるから、 max i 1[CC ( p*)  CC ( pi )]  (n  2)(n  1)  n 2  3n  2 n 次数中心モデルにおける中心化傾向のモデルは、   n CD i 1 [CD ( p*)  CD ( pi )] n 2  3n  2 38 その他のモデル (2n  3)i 1[CC ( p*)  CC ( pi )] n 近接中心性： CC  媒介中心性： CB    統合性： I  i 1 放射性： R  n [CB ( p*)  CB ( pi )] i 1 3 フロー中心性： C F n n 2  3n  2 n  4n 2  5n  2   n i 1 [C F ( p*)  CF ( pi )] n 1 [ I ( p*)  I ( pi )] n 1  n i 1 [ R( p*)  R( pi )] n 1 39 個人と集団の中心性～下位集団の中心性モデル～下位集団の外集団に関わる度合いというモデル集団次数中心性のモデルいま、下位集団SがS以外の個人ともつ結合の数を集団次数中心性と定義する。右図で下位集団を｛d,e｝とすると、この集団の次数中心性は5である。集団次数中心性は、非集団アクターの数５で除されることで正規化される。このとき正規化集団次数中心性は１である。 40 集団近接中心性モデル下位集団の集団近接中心性（≒距離）は、下位集団から外集団へのすべての点への距離の合計で定義される。これを外集団のアクターの数で除したものの逆数を求めることで正規化集団近接性が求められる。慣例的に、距離の最小、距離の平均、距離の最大の３パターンで求めることがある。 41 集団媒介中心性モデル下位集団をSとし、 g ijを i  j測地線、 g ij ( S )を下位集団 Sを通る i  j測地線とすると、集団 GCB ( S )   i j g ij ( S ) g ij 媒介中心性GCB ( S )は ; i, j  S である。 | V | を全アクター数、 | C | を下位集団 Sのアクター数とすると、 GCB ( S )が理論的最大な場合で正規化すると、 2GCB ( S ) GCB ( S )  (| V |  | C |)(|V |  | C | 1) となる。 42 下位集団の中心性モデルでできること (1)戦略的なネットワーキングの観点から、各ビジネス・パートナーの社会ネットワークと属性がわかっているとき、その属性に関して最も中心性の高いグループ分けを探索することで結合すべき相手を確定し、近個人にとってもっとも有利な人間関係を築くための戦略を立てる (2)各社員の社会ネットワークと属性がわかっているときに、どの部署にどの社員を配置すれば、中心性の差の少ない、平準的な職場を設計できるかといった人事マネジメント上の施策を立てる →集団の中心モデルは予測的で実践的な社会ネットワーク分析が可能 43 まとめ～中心性モデル～１．グラフ理論的な中心モデル２．地位概念に依拠した地位モデル３．伝播に注目した中心モデル４．集団の中心化傾向のモデル５．下位集団の中心モデル 44