x + 1

問 1. 次の不定積分を求めよ．
∫
(1)
∫
(2)
∫
(3)
x+3
dx
(x + 1)(x − 1)
x2
2x − 1
dx
− 5x + 6
x3 − 4x2 + 3x + 5
dx
x2 − 5x + 6
問 2. 次の不定積分を求めよ．
∫
(1)
(2)
(3)
2x + 7
dx
+ 6x + 10
∫
4x + 15
dx
2
x + 6x + 11
∫
x+5
dx
x2 + 6x + 12
x2
問 3. 次の不定積分を求めよ．
∫
(1)
(2)
(3)
x
dx
x+2
∫
1
√
dx
x x+1
∫
1
√
dx
2
x +1
√
問 4. 以下の (i), (ii), (iii) で与えられている関数 f (x, y) の偏微分
fx , fy , fxx , fxy , fyy を求めよ．
2 3
(iii) f (x, y) =
(1) f (x, y) = 3x2 − 4xy 4 − 5y 6
(2) f (x, y) = ex y
log(2x + 3y)
問 5. (1) 関数 z = f (x, y) = 2x2 + 3y 2 のグラフの点 (x, y) = (1, 2) で
の接平面の方程式を求めよ．
曲線 f (x, y) = x2 − 3y 2 − 1 = 0 の点 (x, y) = (2, 1) での接線の方程
式を求めよ．
(2)
解答. 以下 C は積分定数を表す．
問 1.∫
x+3
dx = 2 log |x − 1| − log |x + 1| + C
(x + 1)(x − 1)
x+3
2
1
部分分数は
=
−
.
(x + 1)(x − 1)
x−1 x+1
∫
2x − 1
dx = 5 log |x − 3| − 3 log |x − 2| + C
(2)
x2 − 5x + 6
2x − 1
5
3
部分分数は 2
=
−
.
x − 5x + 6
x−3 x−2
∫ 3
x − 4x2 + 3x + 5
x2
(3)
dx
=
+ x + 5 log |x − 3| − 3 log |x − 2| + C
x2 − 5x + 6
2
x3 − 4x2 + 3x + 5
=
x3 −4x2 +3x+5 = (x2 −5x+6)(x+1)+2x−1 より，
x2 − 5x + 6
2x − 1
5
3
x+1+ 2
=x+1+
−
.
x − 5x + 6
x−3 x−2
(1)
問 2.∫
(1)
(2)
(3)
2x + 7
dx = log(x2 + 6x + 10) + arctan(x + 3) + C.
+ 6x + 10
∫
3
x+3
4x + 15
dx = 2 log(x2 + 6x + 11) + √ arctan √ + C.
2
x + 6x + 11
2
2
∫
1
2
x+3
x+5
dx = log(x2 + 6x + 11) + √ arctan √ + C.
2
x + 6x + 12
2
3
3
x2
問 3. ∫
√
x
2
√
(1)
dx = (x − 4) x + 2 + C.
3
x+2
∫
√
√
1
√
(2)
dx = log | x + 1 − 1| − log | x + 1 + 1| + C.
x x+1
)
∫
∫ (
√
2
1
1
dt =
−
dt と
t = x + 1 とおくと，積分は
t2 − 1
t−1 t+1
なる．
∫
√
1
√
(3)
dx = log(x + x2 + 1) + C.
x2 + 1
√
t2 − 1
t2 + 1
t − x = x2 + 1 とおくと，x =
, dx =
dt.
2t
2t2
問 4. (1) f (x, y) = 3x2 − 4xy 4 − 5y 6 のとき，fx = 6x − 4y 4 , fy =
−16xy 3 − 30y 5 , fxx = 6, fxy = −16y 3 , fyy = −48xy 2 − 150y 4 .
2
2 3
2 3
f (x, y) = ex ys のとき，fx = 2xy 3 ex y , fy = 3x2 y 2 ex y , fxx =
2 3
2 3
2 3
2y 3 (1+2x2 y 3 )ex y , fxy = 6xy 2 (1+x2 y 3 )ex y , fyy = 3x2 y(2+3x2 y 3 )ex y .
(2)
(iii)
2
3
, fy =
, fxx =
2x + 3y
2x + 3y
−9
=
.
(2x + 3y)2
f (x, y) = log(2x + 3y) のとき，fx =
−4
−6
, fxy =
, fyy
2
(2x + 3y)
(2x + 3y)2
問 5. (1) 求める接平面の方程式は，z = fx (1, 2)(x − 1) + fy (1, 2)(y −
2) + f (1, 2) で与えられる．fx = 4x, fy = 6y より，求める接平面の方程
式は z = 4(x − 1) + 12(y − 2) + 14 = 4x + 12y − 14.
fx (2, 1)(x − 2) + fy (2, 1)(y − 1) = 0 で与
えられる．fx 2x, fy = −6y より，求める方程式は 4(x − 2) − 6(y − 1) = 0．
すなわち，2x − 3y = 1.
(2) 求める接線の方程式は,

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