第10章環、体の写像

第 10 章環、体の写像
10.1
環準同型
定義 10.1 可換環 R から R′ への写像 ϕ が、
φ(x + y) = φ(x) + φ(y),
φ(xy) = φ(x)φ(y)
を満たすとき、φ は環準同型であるという。さらに、φ が全単射であるとき、φ を同型であるという。
定義より、直ちに次が従う。
命題 10.2 上の定義のもと、R、R′ の零元を 0、0′ 、乗法の単位元を 1、1′ とすると、
(i) φ(0) = 0′ 、
(ii) R′ が整域で、φ(1) ̸= 0′ =⇒ φ(1) = 1′ 。
群のときの準同型定理にあたるものを考えてみる。
定義 10.3 可換環 R から R′ への準同型写像 ϕ : R −→ R′ に対し、像 Ker φ と核 Im φ を
def.
Ker φ := { x ∈ R | φ(x) = 0 } ,
def.
Im φ := { x′ ∈ R′ | ∃x ∈ R s.t. x′ = φ(x) } ,
で定義する。
命題 10.4 可換環 R から R′ への準同型写像 ϕ : R −→ R′ に対し、
(i) Im φ は R′ の部分環である。
(ii) Ker φ は R のイデアルである。
（証明) (i) a′ 、b′ ∈ Im φ とに対し、a′ − b′ 、a′ b′ ∈ Im φ をいえばよい。ある a、b ∈ R に対し、a′ = φ(a)、b′ = φ(b)
と表せる。このとき、φ が環準同型だから、
a′ − b′ = φ(a) − φ(b) = φ(a − b) ∈ Im φ,
a′ b′ = φ(a)φ(b) = φ(ab) ∈ Im φ
がいえる。
(ii) a、b ∈ Ker φ、 x ∈ R に対し、a − b ∈ Ker φ、ax ∈ Ker φ をいえばよい。R′ の零元を 0′ としたとき、
φ(a − b) = φ(a) − φ(b) = 0′ + 0′ = 0′ より a − b ∈ Ker φ がいえ、φ(ax) = φ(a)φ(x) = 0′ φ(x) = 0′ より、
ax ∈ Ker φ がいえる。（証明終）
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命題 10.5 可換環 R から R′ への準同型写像 ϕ : R −→ R′ に対し、0 を R の零元とすると、
(i) φ が全射 ⇔ Im φ = R′
(ii) φ が単射 ⇔ Ker φ = {0}。
（証明） (i) 定義より直ちに従う。
(ii) ⇒) φ が準同型写像であることより φ(0) = 0′ だが、φ が単射なので、0′ に移る要素はこれしかない。
⇐) 「φ(a) = φ(b) ⇒ a = b」を示す。φ(a) = φ(b) とすると、φ(a − b) = 0′ となるので、a − b ∈ Ker φ となるが、仮
定より、Ker φ = {0} なので、a − b = 0。よって、a = b。（証明終）
群の準同型定理と同様に、次がなりたつ。
def.
定理 10.6 （環準同型定理）上の記号のもと、R/Ker φ から Im φ へ写像 Φ を Φ(CKerφ (x)) := φ(x) と定義すると、Φ
は、環 R/Ker φ から Im φ への同型写像になる。
（証明）簡単のために I = Ker φ と書く。(O) Φ が写像であること、(I) 準同型であること、(II) 全射であること、(III)
単射であることを示せばよい。
(O) (i) 0′ を R′ の零元とする。CI (a) = CI (b) ⇒ Φ(CI (a)) = Φ(CI (b)) であることは、
CI (a) = CI (b)
⇒
a ≡ b (mod I)
[ ∵) 剰余類が等しいならば代表元は合同]
⇒
a − b ∈ I = Ker φ
[ ∵) 合同の定義と I = Ker φ より]
′
⇒
φ(a − b) = 0
[ ∵) Ker φ の定義より]
⇒
φ(a) = φ(b)
[ ∵) φ が準同型]
⇒
Φ(CI (a)) = Φ(CI (b)) [ ∵) Φ の定義]
よりいえる。
(ii) 定義より、任意の CI (a) ∈ R/I に対し、Φ(CI (a)) = φ(a) ∈ Im φ。
(I) CI (a)、CI (b) ∈ R/I に対し、Φ(CI (a) + CI (b)) = Φ(CI (a)) + Φ(CI (b)) であることは、
Φ(CI (a) + CI (b))
= Φ(CI (a + b))
= φ(a + b)
= φ(a) + φ(b)
[ ∵) 剰余類の和の定義より]
[ ∵) Φ の定義より]
[ ∵) φ は準同型]
= Φ(CI (a)) + Φ(CI (b))
[ ∵) Φ の定義より]
より、Φ(CI (a)CI (b)) = Φ(CI (a))Φ(CI (b)) であることは、
Φ(CI (a)CI (b))
[ ∵) 剰余類の積の定義より]
[ ∵) Φ の定義より]
[ ∵) φ は準同型]
= Φ(CI (ab))
= φ(ab)
= φ(a)φ(b)
= Φ(CI (a))Φ(CI (b)) [ ∵) Φ の定義より]
よりいえる。
(II) Im φ の任意の元は φ(a) (a ∈ R) と書ける。この a に関して、Φ(CI (a)) = φ(a) となるので、Φ による像が φ(a)
となる要素 CI (a) ∈ R/I が存在する。よって全射。
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(III) CI (a), CI (b) ∈ R/I に対し、
Φ(CI (a)) = Φ(CI (b))
⇒ φ(a) = φ(b)
[ ∵) Φ の定義より]
⇒ φ(a − b) = 0′ = Ker φ [ ∵) φ は準同型]
⇒ a − b ∈ Ker φ = I
[ ∵) Ker φ の定義と I = Ker φ より ]
⇒ a ≡ b (mod I)
[ ∵) 合同の定義より]
⇒ CI (a) = CI (b)
[ ∵) 代表元が合同ならば剰余類は等しい]
より、単射であることがいえる。(証明終)
10.2
体の同型
命題 10.7 体 F 、F ′ の間に零写像でない環準同型 ϕ : F −→ F ′ が存在したとすると、ϕ は単射になる。
（証明） 0 でない Ker ϕ の元 a が存在すると仮定する。Ker ϕ がイデアルだから、1 = aa−1 ∈ Ker F となる。これ
より、任意の x ∈ F に対し、x = 1.x ∈ Ker ϕ がいえる。よって、Ker ϕ = F で、ϕ が零写像となり矛盾。よって、
Ker ϕ = {0} となり、ϕ は単射。（証明終）
これより、ϕ(F ) を F と同一視すると、F ⊂ F ′ と思うことができる。
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