関数論演習第 6 回
2014 年 5 月 2 日担当：中島
複素関数 1
6
n
例題 6.1. ni 2 =
1
n2
∑
であり,
1
n≥1 n2
< ∞ より絶対収束する.
supz∈Dr (0) |z n | = rn → 0 より一様収束.
(ii) (i) より任意の z ∈ D1 (0) に対して z n → 0 であることがわかる. 一方で supz∈D1 (0) |z n − 0| = 1
より n → ∞ であるので一様収束ではない.
例題 6.2. (i)
n
問 6.1. (i) | in | =
1
n.
[n/2]
∑
1
n≥1 n
= ∞ から絶対収束ではない.
∑ (−1)k
∑ (−1)k−1
i
=
+i
. それぞれ交代級数になっているので収束する.
k
2k
2k − 1
k=1
k=1
k=1
∑
注: an ≥ an+1 ≥ · · · , an → 0 ならば n≥1 (−1)n an は収束する.
(ii)
n
k
∑
[(n+1)/2]
問 6.2. z0 ∈ A とする. 示したいことは
∀
ε > 0,
∃
δ > 0 s.t. |z − z0 | < δ, (z ∈ A) ⇒ |f (z) − f (z0 )| < ε.
今 fn (z) は f (z) へ一様収束するので
∃
N = N (ε) s.t. n ≥ N ⇒ sup |fn (z) − f (z)| <
z∈A
ε
.
4
n を固定する. fn は連続関数なのである δ = (ε, z0 , n) > 0 が存在して |z − z0 | < δ ならば |fn (z) −
fn (z0 )| < 4ε . 三角不等式より
∀
ε > 0,
∃
δ(ε, z0 , n) > 0 s.t. |z − z0 | < δ, (z ∈ A)
⇒ |f (z) − f (z0 )| ≤ |f (z) − fn (z)| + |fn (z) − fn (z0 )| + |f (z0 ) − fn (z0 )| ≤
3ε
< ε.
4
レポート A 5.1. ezn = en cos θ (cos(n sin θ) + i sin(n sin θ)). sin θ ̸= 0 ならば arg ezn の偏角は収束し
ない. (収束するならば (n + 1) sin θ − n sin θ = 2πk + ε となるはずである.)
よって収束するならば 0 に収束する, または θ = 0 である. θ = 0 ならば ezn = en となり収束しない.
また 0 に収束するのは en cos θ → 0 のときであるが, これは θ ∈ ( π2 , 3π
2 ) のときである.
レポート A 5.2. 略
レポート A 5.3. 略
レポート B 5.1. 略