解析学IV演習問題 No.1

解析学 IV 演習問題 No.1
2014.10.7
Rn の元が縦ベクトルか又は横ベクトルかは状況に応じて, 判断して下さい.
1. m, n ∈ N とする. 以下を示せ.
(1) x, y ∈ Rn ならば ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥.
(2) a ∈ Rn , 0 < r ならば B(a, r) は Rn の開集合である.
(3) a ∈ Rn , 0 ≤ s < t ならば {x ∈ Rn |s < ∥x − a∥ < t} は Rn の開集合である.
(4) A が Rn の開集合,B が Rm の開集合ならば A × B は Rn+m の開集合である.
(5) A ⊂ Rn は開集合,a ∈ A, f : A → Rm , とする. 以下を満たす b ∈ Rm は存在すれば一意に定まる.
∀ε > 0, ∃δ > 0, s, t, x ∈ A, ∥x − a∥ < δ ⇒ ∥f (x) − b∥ < ε.
(6) A ⊂ Rn は開集合,a ∈ A, f, g : A → R とする. f, g が a で連続ならば
h : A → R, h(x) = f (x) + g(x), は a で連続である.
(7) A ⊂ Rn は開集合,a ∈ A, f, g : A → R とする. f, g が a で連続ならば
h : A → R, h(x) = f (x)g(x), は a で連続である.
(8) A ⊂ Rn は開集合,a ∈ A, f, g : A → R, f, g が a で連続, g(a) ̸= 0 ならば
ある r > 0 が存在し B(a, r) ⊂ A, g(x) ̸= 0 (x ∈ B(a, r)) かつ
f (x)
h : B(a, r) → R, h(x) =
, は a で連続である.
g(x)
(9) A ⊂ Rn は開集合,B ⊂ Rm は開集合, a ∈ A, f : A → B は a で連続,
g : B → Rk は f (a) で連続ならば g ◦ f : A → Rk は a で連続である.
(10) P1 , P2 : R2 → R, P1 (x, y) = x, P2 (x, y) = y は連続である.
(11) f : Rn → R2 , f (t) = (f1 (t), f2 (t)) とする. 以下は同値である.
(i) f は連続.
(ii) f1 , f2 は連続.
n
(12) A ⊂ R は開集合, a ∈ A, f : A → Rm とする. 以下は同値である.
(i) f は a で連続.
(ii) a に収束する任意の点列 b : N → A に対して lim f (b(k)) = f (a).
k→∞
(13) a ∈ Rn とする. f : Rn → R, f (x) = ∥x − a∥, は連続関数である.
(14) A は R 係数 m × n 行列とする. f : Rn → Rm , f (x) = Ax, は連続写像である.
(15) D ⊂ Rn は開集合, a ∈ D, f : D → Rm とする.
以下を満たす m × n 行列 A は存在すれば一意に定まる.
∀ε > 0, ∃δ > 0, s, t, x ∈ D, ∥x − a∥ < δ ⇒ ∥f (x) − f (a) − A(x − a)∥ ≤ ε∥x − a∥.
(16) D ⊂ Rn は開集合, a ∈ D, f : D → R は a で全微分可能とする.
f が a で極値を持つならば (∂s f )(a) = 0 (1 ≤ s ≤ n) である.
2. 以下の関数 f が a で連続である事を ε − δ 法を用いて示せ.
(1) f (x, y) = x2 + xy + y 2 , a = (0, 0) (2) f (x, y) = x2 + y + 1, a = (1, −1)
(3) f (x, y) = x3 + x2 y + x, a = (0, 0) (4) f (x, y) = 2x4 − xy + y + 1, a = (−1, −1)
1 2
y x
(5) f (x, y) = + , a = (1, 1)
(6) f (x, y) = + , a = (1, 1)
x y
x y
y2 x + 1
(7) f (x, y) = x sin y, a = (0, 1)
(8) f (x, y) =
+
, a = (1, 1)
x
y
(9) f (x, y) = x2 sin y, a = (1, 1)
(10) f (x, y) = x sin y + y cos x, a = (1, 1)
解析学 IV 演習問題 No.2
2014.10.7
3. m, n ∈ N, 1 ≤ m, n, D ⊂ Rn は開集合, f : D → R は C m 級関数,
x, h = (h1 , · · · , hn ) ∈ Rn , x + th ∈ A (t ∈ [0, 1]).
M (k, n) = {j|j∑
: {1, 2, · · · , k} → {1, 2, · · · , n}} (1 ≤ k ≤ m),
k
(d f )x (h) =
(∂j(1) · · · ∂j(k) f )(x)hj(1) · · · hj(k)
j∈M (k,n)
とする. このとき 0 < s < 1 が存在し, 以下が成り立つ事を示せ.
∑ 1
1 m
f (x + h) = f (x) +
(dk f )x (h) +
(d f )x+sh (h).
k!
m!
1≤k≤m−1
4. D ⊂ R2 は開集合, B(a, r) ⊂ D, 0 < r, f : D → R は C 2 級関数, a ∈ D は f の臨界点とする.
A = ((∂1 ∂2 f )(a))2 − (∂12 f )(a)(∂22 f )(a) とする. 以下を示せ.
∑
(1) ∀h = (h1 , h2 ) ∈ B(0, r), 0 < ∃s < 1, s.t. f (a + h) − f (a) =
(∂i ∂j f )(a + sh)hi hj
1≤i,j≤2
(2) (∂12 f )(a) ̸= 0, (h1 , h2 ) ∈ R2 ならば
(
)2
∑
(∂1 ∂2 f )(a)
A
2
(∂i ∂j f )(a)hi hj = (∂1 f )(a) h1 +
h2 − 2
h22 .
2
(∂
f
)(a)
(∂
f
)(a)
1
1
1≤i,j≤2
(3) A < 0, (∂12 f )(a) > 0 ならば f は a で狭義の極小である.
(4) A < 0, (∂12 f )(a) < 0 ならば f は a で狭義の極大である.
(5) (∂12 f )(a) ̸= 0, (h1 , h2 ) ∈ R2 , h2 ̸= 0 ならば
(
)2
h1 (∂1 ∂2 f )(a)
A
1 ∑
2
(∂i ∂j f )(a)hi hj = (∂1 f )(a)
+
− 2
である.
2
2
h2 1≤i,j≤2
h2
(∂1 f )(a)
(∂1 f )(a)
A > 0 ならば f (a) は極値でない.
5. 0 < b < a, c ̸= 0, d ̸= 0 とする. 以下の関数 f の極値を求め, 極大, 極小を判定せよ.
a a
+
x y
(3) f (x, y) = x3 − 3axy + y 3
(2) f (x, y) = x2 + xy − rx + y 2 − 2y
(5) f (x, y) = xy(x2 + y 2 − 1)
(6) f (x, y) = e−(x
(7) f (x, y) = (x − y 2 )(x − 2y 2 )
(8) f (x, y) = (x − y 2 )2 − y 5
(1) f (x, y) = xy +
(9) f (x, y) = x4 + y 4 − 2x2 + 4xy − 2y 2
(4) f (x, y) = (x2 + y 2 )2 − 2a2 (x2 − y 2 )
2 +y 2 )
(ax2 + by 2 )
(10) f (x, y) = x3 + y 3
(11) f (x, y) = sin x + sin y + sin(x + y) (0 < x, y < 2π) (12) f (x, y) = 2x3 + xy 2 + 5x2 + y 2
(13) f (x, y) = xy(c − x − y)
√
√
(15) f (x, y) = y 1 + x + x 1 + y
(17) f (x, y) = 3 log x + 2 log y − log(a − x − y)
配布済演習問題は以下に在ります。
http://home.hiroshima-u.ac.jp/tkura/mondai/
(14) f (x, y) = (2cx − x2 )(2dy − y 2 )
(16) f (x, y) = x3 + y 3 − 3xy
√
(18) f (x, y) = ( x2 + y 2 − 1)2

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