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微分積分 II 期末試験 (2015 年 1 月 29 日)
約束
• 学生証を持参してください。当日チェックをします。
• 答えのみの解答は不可とします。計算の過程を必ず書いて，問題集の解答を作るつもりで答案を作成し
ましょう。
• 携帯電話やスマートフォン，タブレットなどの通信機器は電源を切ってカバンにしまって下さい。（時計
代わりに使用したり，外部との通信をしたりすることは禁止します。）
• 机の上には筆記用具，学生証，時計以外のものは置かないで下さい。
• 開始の合図があるまで，ページを開けないで下さい。
• 問題に不備があると感じた場合は，それを指摘することを問題とし，正しく指摘ができていることによっ
て正解, 正しく指摘していなければ不正解とする。
• 解答は採点終了後，ホームページに掲載するので復習すること。
• 試験当日は裏面の座席表の通りに着席して受験すること。
出題内容 (各 20 点で以下の内容を出題します.)
1 領域を図示し，領域を縦線領域・横線領域の両方に表すことができ，それを利用して重積分の計算をする
ことができるか試験をします. レポート No.7 を復習しておくこと. グラフを書くにあたって, 1 変数関数
を微分して増減表を書く力も必要となります. 微妙な人は高校の復習をしておくこと. ふたつの関数の大
小関係をきちんと示せますか？(例： x ≥ 0 ならば sin x ≤ x であることを示しなさい.). この内容を勉強し
たとき，授業中に私語があったので若干問題を難しく…というよりひと手間要るようにしておきました.
2 縦線領域上の累次積分から横線領域上の累次積分へ（あるいはその逆も），積分順序の交換をすることが
できるか試験をします. レポート No.8 を復習しておくこと. 演習問題 No.9 もやっておくこと.
3 変数変換を用いて重積分を計算できるかどうかの試験をします. レポート No.9 を解いておくこと. 強い
て言えば， 1 (2) に似ているかもしれません. 練習問題 No.10 もやっておくこと. 計算の際, ヤコビアンを
忘れないこと.
4 広義積分の計算ができるかどうかの試験をします. 個人的には 4 が一番簡単な気がします. レポート No.10
の 1 (3) に似ています. 計算の際, ヤコビアンを忘れないこと. たくさん練習したければ, ホームページに
ある練習問題 No.11 もどうぞ.
5 3 重積分の計算ができるかどうかの試験をします. 以下の事をおさえておいてください.
∫
•
sin2 θdθ を計算できるようにしておくこと.
• 3 次元極座標 x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ とそのヤコビアン r2 sin θ は覚えておくこと.
• 積分領域は G = {(x, y, z)| x2 + y2 + z2 ≤ a2 ,
r, θ, ϕ がどの範囲を動くか考えておくこと.
x ≤ 0,
y ≥ 0,
z ≤ 0} (a > 0 は定数) とします. この場合，
• レポート No.11 はやっておくこと. 計算の際, ヤコビアンを忘れないこと. たくさん練習したければ, ホー
ムページにある練習問題 No.12 もどうぞ.
※ 期末試験の過去問が欲しい人は, ホームページからダウンロードしてください.
微分積分学 II 期末テスト（2015 年 1 月 29 日）学籍番号氏名点数 √
1
y = ϕ(x) = 1 − 1 − x2 と y = ψ(x) = x2 を考える. 閉領域 D は第 1 象限における2 曲線 y = ϕ(x) と
y = ψ(x) の囲む部分とする.
(1) y = f (x) = ϕ(x) − ψ(x) とするとき, 区間 [−1, 1] において f (x) ≤ 0 であることを示しなさい.
(2) 閉領域 D を図示せよ.
"
(3) 閉領域 D を縦線領域として表し，I =
"D
(4) 閉領域 D を横線領域として表し，I =
xydxdy を計算せよ1 .
xydxdy を計算せよ.
D
1
第 1 象限内では x の値も y の値も正です. ということは，xy も正. 重積分の意味を考えると，I の値がマイナスになるのはおかし
いですね.
∫
2
横線領域上の累次積分 I =
0
∫ √ π2
√
π 2π
4
√
3y
sin(x2 )dxdy について以下の問いに答えなさい.
(1) I の積分領域を図示せよ.(答えのみ可)
(2) I を計算せよ2 .
"
3
閉領域 D = {(x, y)|
1 ≤ x + y ≤ 4,
2
−4 ≤ −x + y ≤ 0,
2
x > 0} に対して, I =
xy2 dxdy を考える. こ
D
のとき，以下の問いに答えなさい.
(1) 積分領域 D を xy 平面上に図示せよ (答えのみ可).
(2) x2 + y = u, −x2 + y = v とおく. このとき, x, y を u, v を用いて表しなさい.
∂(x,y)
を計算せよ.
(3) (2) のように u, v を定義するとき, x, y の u, v に関するヤコビアン ∂(u,v)
(4) I を計算せよ.
2
ヒント：横線領域で計算ができなかったとしても….
微分積分学 II 期末テスト（2015 年 1 月 29 日）学籍番号 "
4
D = {(x, y)|
x2 e−x −y dxdy を考える. このとき，以下の問いに
2
x + y ≥ 9} に対して, 広義積分 I =
2
2
D
答えなさい
∫ ∞ .
2
(1)
r3 e−r dr を計算せよ.
3
(2) I を計算せよ.
氏名 2
5
a > 0 を定数とし, G = {(x, y, z)| x2 + y2 + z2 ≤ a2 , x ≤ 0, y ≥ 0, z ≤ 0} とする. このとき, 以下の問
いに答えよ.
(1) 領域 G 内の点 (x, y, z) を 3 次元極座標 x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ で表すとき, r, θ, ϕ の動く
範囲を求めよ (答えのみ可
$ ).
(2) 3 重積分 I =
(3x − 2y + 3z)dxdydz を計算せよ.
G

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