Document

解析 II 中間試験 (2015 年 6 月 15 日)
担当：新國裕昭
約束
• 学生証を持参してください。（当日受験票の代わりとしてチェックします。）
• 答えのみの解答は不可とします。計算の過程を必ず書いて，問題集の解答を作るつもりで答案を作成し
ましょう。
• 携帯電話やスマートフォン，タブレットなどの通信機器は電源を切ってカバンにしまって下さい。（時計
代わりに使用したり，外部との通信をしたりすることは禁止します。）
• 机の上には筆記用具，学生証，時計以外のものは置かないで下さい。
• 開始の合図があるまで，学籍番号・氏名以外のものを書き込まないこと。
• 問題に不備があると感じた場合は，それを指摘することを問題とし，正しく指摘ができていることによっ
て正解, 正しく指摘していなければ不正解とする。
• 解答は採点終了後，ホームページに掲載するので復習すること。
• 下記の座席表に従って着席し，試験を受けること。
中間試験は以下の内容について試験を行います.
• 1 2 変数関数の極限（間違い探し。レポート No.1 でひと通り問題に慣れた後，
「微分積分学 II」(2014
年）の中間テストの 1 , 2 にも取り組んでおくこと。）（15 点）
• 2 2 変数関数の極限 (レポート No.1 や「解析 II」「微分積分学 II」の中間テストの過去問を見て極限の
問題を練習しておくこと。)（10 点）
• 3 偏微分係数の計算，テイラーの定理，全微分可能性，接平面の方程式（レポート No. 5 と同じ形式
で問題を出します。レポート No.5 では f (x, y) = e x log(1 + y) でしたが，ここの部分を変えます。）
（30 点）
• 4 連鎖律（レポート No. 4 を少し簡単にしたものを出します。レポート No.4 はもともと中間テストを
少し難しくしたものとして作ったので, レポート No.4 を理解しておけば解ける問題のはずです。）
（20 点）
• 5 2 変数関数の極値問題（教科書 139 ページの問 26 ならびに 145 ページの演習問題 4-B にある 13 番
の問題で練習しておいて下さい。）（15 点）
• 6 偏微分係数の計算（レポート No.2 の 3 の問題を確認しておいて下さい。テストでは f xy (0, 0) か
fyx (0, 0) のどちらか一方を計算してもらいます。関数の形は少しだけ変えます。）（10 点）
※ 「微分積分学 II」は「解析 II」と同じ内容です。ホームページにある過去問はどちらも内容的には同じで
すので，時間に余裕がある人は両方見ておくとよいでしょう。
解析 II 中間テスト（2015 年 6 月 15 日） 1 枚目
学籍番号氏名点数次の問題に関する回答は間違っている. どこが間違っているか指摘し，正しい解答を作成せよ1 .(15 点)
x 2 y2
問題極限 lim
が存在するかどうか調べ，存在する場合は極限値を求めよ.
(x,y)→(0,0) x2 + y4
√
2 y2
x3
x
回答曲線 y = x に沿って (x, y) を原点に近づけると, xx2 +y
4 = x2 +x2 = 2 → 0 ((x, y) → (0, 0) のとき) とな
√
2
2
y
x2 ×4x
4x3
4
る. 一方, 曲線 y = 2 x に沿って (x, y) を原点に近づけると, xx2 +y
4 = x2 +4x2 = 5x2 = 5 x → 0 ((x, y) → (0, 0) のと
き) となる. したがって, 2 通りの近づけ方をした時に同じ値に近づくことがわかるため, 極限値は 0, すなわち,
x 2 y2
= 0 となる.
lim
(x,y)→(0,0) x2 + y4
1
2 極限
1
lim
(x,y)→(0,0)
x2 − y2
が存在するかどうか調べ, 存在する場合はその極限値を求めなさい.(10 点)
x2 + y2
ヒント：不等式 x2 + y4 ≥ x2 が成り立つ.
3 関数 f (x, y) = cos(x + y) について以下の問いに答えなさい.(30 点)
(1) f x (0, 0) と fy (0, 0) を求めよ.
(2) f (x, y) の剰余項を含めて 2 次までの有限テイラー展開を求めなさい.
(3) f (x, y) は原点において全微分可能であることを示しなさい.
(4) 曲面 z = f (x, y) 上の点 (0, 0, 1) における接平面の方程式を求めなさい.
解析 II 中間テスト（2015 年 6 月 15 日） 2 枚目
学籍番号氏名 4 f (x, y) は C 2 級関数であるとする. x = eu cos v, y = eu sin v のとき, zuu + zvv = (x2 + y2 )(z xx + zyy ) が成り立
つことを確かめなさい. ただし,
zuu = (z xx eu cos v + z xy eu sin v)eu cos v + z x eu cos v + (zyx eu cos v + zyy eu sin v)eu sin v + zy eu sin v
であることは確かめずに使用して良いものとする. (20 点)
5
f (x, y) = x3 + 3x2 + 6xy + 2y2 の極値をすべて求めなさい. (15 点)
6


xy(2x2 +xy+y2 )


 x2 +2y2
f (x, y) = 


0
((x, y) , (0, 0) のとき)
((x, y) = (0, 0) のとき)
に対して, fyx (0, 0) を求めよ. (10 点)

Download Report