境界条件による反射率と透過率の導出

境界条件による反射率と透過率の導出
媒質境界での正弦波の反射と透過について考える．
図のように境界が x = 0 ( y 軸上)にある媒質Ⅰ (x < 0) と媒質Ⅱ (x > 0) において，x 軸
正方向に進行する振幅 A ，振動数 f の正弦波の入射を考える．図は媒質の変位を y 軸方
向にとっている．媒質ⅠおよびⅡ，それぞれの媒質中での正弦波の進む速さを V1 ，V 2 と
する．
y
媒質Ⅰ
媒質Ⅱ
A
V1
x
0
−A
時刻 t ，位置 x での入射波(incident wave)の変位 y I が
入射波
：

x 

y I (x, t) = A sin 2π f t −

V 1 
で表されるとすれば，反射波は進行方向が逆であるため V1 を −V1 に置き換えて，反射波
(reflected wave)の変位 y R は
反射波
：

x 

y R (x, t) = B sin 2π f t +

V1 
と表せるだろう．この様に表せば， x = 0 における合成波の変位 y I + y R は矛盾なく振動
数 f で単振動する（位相が π の整数倍以外でずれると矛盾が生ずる）． B > 0 ならば，
x = 0 で入射波と位相が揃うから自由端反射， B < 0 ならば， x = 0 で入射波と位相が π
だけずれるから固定端反射である．
また，透過波は進行方向が入射波と等しく，位相速度が V 2 であることに注意して，透
過波(transmitted wave)の変位 y T は
透過波
で表せる．
：
y T (x, t) = C sin 2π

x 

f t −

V 2 
さて，波動は境界 x = 0 において連続でなめらかでないと自然ではない．これを境界
条件という．
境界での波動の連続性より，
y I (0, t) + y R (0, t) = y T (0, t)
⇔ (A + B ) sin 2π ft = C sin 2π ft
が任意の時刻 t について成立する．したがって振幅を比較して
連続性
：
A+B = C
波動は境界でなめらかである（右微分係数と左微分係数が x = 0 で等しい）から，
2π f
2π f
( − A + B ) sin 2π ft = −
y I ′ (0, t) + y R ′ (0, t) = y T ′ (0, t) ⇔
C sin 2π ft
V1
V2
が任意の時刻 t について成立する．したがって振幅を比較して
V1
微分可能性： A − B =
C
V2
以上より，入射波の振幅 A を用いて
B=
|B|
A
=
V 2 − V1
A，
V1 + V 2
C =
2V 2
A
V1 + V 2
| V 2 − V1 |
C
2V 2
は境界での反射率，
=
V1 + V 2
A
V1 + V 2
は透過率である．
この結果から，波動に関する以下の性質が説明される．
V 2 > V1 （媒質Ⅱの屈折率が媒質Ⅰより低い）ならば， B > 0 なので自由端反射
V 2 < V1 （媒質Ⅱの屈折率が媒質Ⅰより高い）ならば， B < 0 なので固定端反射
V 2 → 0 の極限では B = − A ， C = 0 の完全固定端反射（ミラー）
V1 = V 2 ならば，境界そのものが存在しないため， B = 0 ， C = A の完全透過
※
厳密には， y R と y T には初期位相（位相における定数項）を考え，境界条件の時刻 t
に関する恒等性からそれを定める方が良いが，計算が面倒になるため一般式の設定自
体を工夫した．

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