演習問題 7

概論 IV 演習
§7. 線積分
[ 7.1 ]
Z
2014 年 11 月 11 日出題
z dz を C が次のそれぞれの場合（いずれも 0 から 1 + i まで）に計算せよ．
C
(1) 0 と 1 + i を結ぶ線分．
(2) 0 と 1 を結ぶ線分と，1 と 1 + i を結ぶ線分をつないだもの．
(3) 0 と 1 + i を結ぶ下に凸な放物線で，原点を頂点とするもの．
Z
[ 7.2 ] 単位円周の上半分で 1 から 1 に向かう路を C とするとき， (z 2 + z 2 ) dz
を求めよ．
C
[ 7.3 ] a 2 R をパラメータに持つ曲線 z(t) = t + ia sin t (0 5 t 5 ⇡) を Ca とする．
Z
どの Ca も複素平面上で原点と ⇡ を結ぶ曲線である．このとき，
Re z dz が実
Ca
際に a に依存することを，直接計算により示せ．
[ 7.4 ] a > 0，b > 0 とする．
Z a⇣
⌘
1
1
(1) 通分することで
dt を求めよ．
ib
t + ib
a t
(2) 長方形 a 5 x 5 a， b 5 y 5 b の周 C に沿って反時計回りに 1 周するとき，
Z
dz を直接計算せよ．
C z
Hint: (2) x > 0 のときの等式 Arctan x + Arctan 1 = ⇡ （要証明）が必要になる．
x
2
Z
(Log z)3
[ 7.5 ] 単位円周の 1/4 円を 1 から i へ向かう路を C とするとき，
dz を
z
C
求めよ．
Z
p
[ 7.6 ] C が次のそれぞれの場合に
z dz を計算せよ．ただし，いずれも出発点 1 に
p
C
おいて 1 = 1 とする．
(1) C は単位円周の上半分を 1 から出発して 1 に至る．
(2) C は単位円周の下半分を 1 から出発して 1 に至る．
[ 7.7 ] 単位円周の右半分上を i から i に至る路を C とする．このとき
せよ．ただし z i は主枝（主値）をとる．
Z
z i dz を計算
C
裏面に続く
z
[ 7.8 ] z = 1 を反時計回りに 1 周する路 C に沿う積分
Z
z
1 dz を計算せよ．
C
[ 7.9 ] f (z) は |z| 5 1 で連続であるとする．一様連続性を用いて次を示せ．
Z
Z
lim
r!1 0
f (z) dz =
|z|=r
f (z) dz
|z|=1
[ 7.10 ] r >Z 0 とし，Cr は円周 z = r の上半分を r から r に向かう路とする．
eiz dz とおくとき，以下の問に答えよ．
I(r) :=
Cr z
Z ⇡
2
(1) I(r) 5 2
e r sin ✓ d✓ を示せ．
0
(2) (1) と区間 [ 0,
⇡
2
] において sin ✓ を評価することで， lim I(r) = 0 を示せ．
r!+1
[ 7.11 ] C は複素平面内のなめらかな曲線とし，' は C 上の連続函数とする．函数
Z
Z
'(⇣)
'(⇣)
0
f (z) :=
d⇣ は C の補集合で微分可能であって，f (z) =
d⇣
z
z)2
C ⇣
C (⇣
(z 2
/ C) となることを，直接次式（式変形の詳細必要）を評価することで示せ． Z
Z
f (z + h) f (z)
'(⇣)
'(⇣)
d⇣ = h
d⇣.
2
h
z)
z h)(⇣ z)2
C (⇣
C (⇣
Hint: z 2
/ C のとき dist(z, C) := inf z ⇣ とおくと，dist(z, C) > 0 である（要説
⇣2C
明）．あとで h ! 0 とするので，初めから h < 12 dist(z, C) としてよい．
以上

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