解析学 I 自習用問題 No.1

解析学 I 自習用問題 No.1
（2016.7.24 出題）
プリントは http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/H28Kai1.html にも置いてあります．
下にある問題は自習用問題です．レポートとしての提出を求めません（本来はレポート
問題 No.11 として予定していたものなのですが，7/13 の「大雨に伴う全学一斉休講」に
より授業日程が変更されたため，レポートを添削・返却する時間がなくなりました）．
解答・解説は 7/25 以降にホームページ
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/H28Kai1.html
および「もみじ」に掲載します．
問１逆三角関数 arcsin x, arccos x, arctan x に関する次の問に答えよ．計算過程も明記
すること．
(
)
5
(1) arcsin sin π を求めよ．
6
√
(2) arccos x = arctan 2 を満たす x を求めよ．
(3) 次の式をできるだけ簡単にせよ．
(i) sin(arccos x) （ただし −1 ≤ x ≤ 1）
(ii) cos(3 arccos x) （ただし −1 ≤ x ≤ 1）
(iii) arctan x + arctan
1
（ただし x は 0 でない実数）
x
（ヒント：x > 0 と x < 0 に場合分けが必要）
問２関数の一様連続性に関する次の問に答えよ．
√
√
√
(1) (i) 0 ≤ a ≤ b ならば b − a ≤ b − a が成り立つことを示せ．
√
(ii) I = [0, ∞) とおく．f (x) = x は I 上で一様連続であることを示せ．
(2) g(x) = x2 は R 上で一様連続でないことを示せ．
（「g(x) が R 上で一様連続でない」ことの定義を書き，それに従って証明を行うこと）

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