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複素数と方程式 2 (2 次方程式の解)
基本事項 1(2 次方程式の解)
2 次方程式の解の公式
√
b2 − 4ac
2 次方程式 ax + bx + c = 0 の解は，x =
2a
√
−b ± b′2 − ac
2
′
2 次方程式 ax + 2b x + c = 0 の解は，x =
a
−b ±
2
2 次方程式の解の判別式 2 次方程式 ax2 + bx + c = 0 の判別式を D = b2 − 4ac とする時，2 次方程式の解
は以下のようになる。







D > 0 ⇐⇒ 異なる 2 つの実数解を持つ
D = 0 ⇐⇒ 重解を持つ
D < 0 ⇐⇒ 異なる 2 つの虚数解を持つ (2 つの虚数解は共役)
基本問題 01
次の 2 次方程式を解け。
(1) 8x2 + 28x + 27 = 0
基本問題 02
(虚数解を持つ 2 次方程式)[No.14112601]
(2)
1 2
1
x − x+1=0
40
10
(3) (2 +
√
√ 2
3)x + 2( 3 + 1)x + 2 = 0
(2 次方程式の解の判別)[No.14112602]
k を実数の定数とする時，以下の方程式の解を判別せよ。
(1) 2x2 − 9x + 13 = 0
応用問題 01
(2) x2 − (k − 1)x + k 2 + 4k + 8 = 0
(3) kx2 − 2(k − 2)x + 1 = 0
(2 つの 2 次方程式の解の判別)[No.14112603]
k を定数とした時，2 つの方程式 2x2 + 2kx + 2k + 4 = 0 および (k + 8)x2 − 6x + k = 0 について，次の条件
を満たす k の範囲を求めよ。
(1) 2 つの方程式のどちらも虚数解を持つ。
(2) 2 つの方程式の少なくとも一方が虚数解を持つ。
応用問題 02
(虚数係数の 2 次方程式の解)[No.14112604]
x の 2 次方程式 (1 + i)x2 + (k + i)x + 3 − 3ki = 0 が純虚数解を持つ時，k の値を求めよ。
応用問題 03
(常に実数解を持つ条件)[No.14112605]
[摂南大]
2 次方程式 x2 − (8 − a)x + 12 − ab = 0 が実数の定数 a の値によらず，実数解を持つ時，b の値の範囲を求め
よ。
[摂南大]
解答
基本問題 01[No.14112601]
√
√
−7 ± 5
(1)
(2) 2 ± 6i (3) 3 + 1
4
基本問題 02[No.14112602]
(1) 異なる 2 つの虚数解 (2) 異なる 2 つの虚数解
(3)k < 0, 0 < k < 1, k > 4 の時，異なる 2 つの実数解，k = 1, 4 の時，重解，1 < k < 4 の時，異なる 2 つの虚数
解
応用問題 01[No.14112603]
√
√
(1) 1 < k < 2 + 2 3 (2) − 9 < k, 2 − 2 3 < k
応用問題 02[No.14112604]
k = −1
応用問題 03[No.14112605]
2≤b≤6

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