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複素数と方程式 6 (高次方程式)
基本事項 1(高次方程式)
高次方程式
P (x) が n 次の整式の時，方程式 P (x) = 0 を n 次方程式と言い，3 次以上の方程式を高次方程式と言う。
高次方程式の解法
高次方程式 P (x) = 0 を解くには，因数定理を利用する。つまり，P (a) = 0 となる a を見つけたとすると，
P (x) は x − a を因数に持つ事を利用する (2 次式まで落とせば，解の公式が使える)。
基本問題 01
(高次方程式の基礎 (因数定理の利用))[No.15012801]
次の方程式を複素数の範囲で解け。
(1) x3 = 8
(2) 2x3 − 5x2 − x + 6 = 0
基本問題 02
(3) x3 − x2 − 4 = 0
(4) 2x4 − 3x3 − x2 − 3x + 2 = 0
(高次方程式の基礎 (その他の解法))[No.15012802]
次の方程式を複素数の範囲で解け。
(1) x4 − 6x2 − 7 = 0
基本問題 03
(2) x4 + x2 + 4 = 0
(1 の 3 乗根)[No.15012003]
(1) 1 の 3 乗根を求めよ。
(2) 1 の 3 乗根のうち，虚数であるものの 1 つを ω とした時，ω 2 も 1 の 3 乗根である事を示せ。
(3) 次の値を求めよ。
1
1
+ 4
ω8
ω
(e) 1 + ω + ω 2 + ω 3 + · · · + ω 99
(a) ω 10 + ω 11
基本問題 04
(b)
(c) (1 + ω − ω 2 )(1 − ω + ω 2 )
(d) (ω 200 + 1)100 + (ω 100 + 1)10 + 2
(高次方程式の係数の決定)[No.15012004]
(1) 実数係数の 3 次方程式 x3 + ax2 − 13x + b = 0 の解の 2 つが，−3, 1 である時，係数 a, b および残りの
解を求めよ。
(2) 実数係数の 3 次方程式 x3 − 2x2 + ax + b = 0 の解の 1 つが，2 + i である時，係数 a, b および残りの解
を求めよ。
[学習院大]
基本問題 05
(3 次方程式の重解条件)[No.15012005]
3 次方程式 x3 + (a − 2)x2 − (2a − 3)x − 6 = 0 が 2 重解を持つように，定数 a の値を定めよ。
[国際医療福祉大・改]
応用問題 01
(3 次方程式の解と係数の関係)[No.15012006]
3 次方程式 x3 + 2x2 − 3x + 1 = 0 の解を α, β, γ と置いた時，次の値を求めよ。
(1) α + β + γ
(2) αβ + βγ + γα
(3) α2 + β 2 + γ 2
(4) (α − 1)(β − 1)(γ − 1)
(5) α3 + β 3 + γ 3
[関西大・改]
応用問題 02
(3 次方程式の解と係数の関係の応用)[No.15012007]
3 次方程式 x3 + 2x2 − 3x + 1 = 0 の解を α, β, γ と置いた時，α + β, β + γ, γ + α を解とする 3 次方程式を
1 つ求めよ。
応用問題 03
(1) 4 次方程式 x4 + 2x3 − x2 + 2x + 1 = 0 を考える。t = x +
1
と置いた時，x の 4 次方程式を t の式で表せ。
x
(2) (1) を利用して，x4 + 2x3 − x2 + 2x + 1 = 0 を解け。
基本問題 06
(4 次相反方程式の解法)[No.15012008]
(高次不等式の基本)[No.15012009]
[甲南大]
次の不等式を解け。
(1) x3 − 3x + 2 > 0
応用問題 04
(2) x4 − 5x2 + 4 ≤ 0
(高次不等式の応用)[No.15012010]
a を正の定数とした時，実数 x の 4 次不等式 x4 − 5x3 − (a2 − 8)x2 + (a + 2)(a − 2)x ≥ 0 を解け。[駒沢大・改]
解答
基本問題 01[No.15012801]
√
3
(1) x = 2, −1 ± 3i (2) x = −1, 2,
2
√
−1 ± 7i
(3) x = 2,
2
√
1 −1 ± 3i
(4) x = 2, ,
2
2
基本問題 02[No.15012802]
√
√
√
√
√
− 3 ± 5i
3 ± 5i
,
(1) x = ±i, ± 7 (2) x =
2
2
応用問題 01[No.14121303]
(m, n) = (3, 11) の時，整数解 x = 1, 11
基本問題 04[No.14121204]
(1) (a, b) = (−3, 15), 残りの解 : x = 5
(2) (a, b) = (−3, 10), 残りの解 : x = 2 − i, −2
基本問題 05[No.14121205]
√
7
a = − , ±2 3
2
基本問題 05[No.14121206]
(1) − 2 (2) − 3
(3) 10
(4) − 1 (5) − 29
応用問題 05[No.14121207]
x3 + 4x2 + x − 7 = 0
応用問題 02[No.14121208]
√
√
−3 ± 5 1 ± 3i
2
(1) t + 2t − 3 (2) x =
,
2
2
基本問題 06[No.14121209]
(1) − 2 < x < 1, 1 < x
(2) − 2 ≤ x ≤ −1, 1 ≤ x ≤ 2
応用問題 04[No.14121210]
0 < a < 1 の時，x ≤ 0, 1 ≤ x ≤ 2 − a, 2 + a ≤ x
1 ≤ a < 2 の時，x ≤ 0, 2 − a ≤ x ≤ 1, 2 + a ≤ x
2 ≤ a の時，x ≤ 2 − a, 0 ≤ x ≤ 1, 2 + a ≤ x

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