g(x + h) f(x + h)

数学演習 A 問題（解析 1A）略解 No.2
2-1. (1) 次の変形をすれば良い．
{ g(x + h) − g(x)
1 { g(x + h) g(x) } g(x + h)f (x) − g(x)f (x + h)
1
f (x + h) − f (x) }
−
=
=
f (x)−g(x)
.
h f (x + h) f (x)
hf (x + h)f (x)
f (x + h)f (x)
h
h
(2) log f (x) = x log a, log g(x) = b log x の両辺を微分すると，
f ′ (x) = ax · log a,
g ′ (x) =
f ′ (x)
g ′ (x)
b
= log a,
= となるから
f (x)
g(x)
x
b b
x = bxb−1 .
x
2-2. (1) π/6 (2) − π/2 (3) π/4 (4) − π/6 (5) 1/x (6) x5 5x
a
a
x
2-3. (1) y ′ = √
(2) y ′ = 2
(3) y ′ = Arcsin(x) + √
2
2
x +a
1 − x2
1 − (ax + b)
(2) g (n) (x) =
2-4. (1) f (n) (x) = an eax
n
∑
(−1)n−1 2n (n − 1)!
.
(1 + 2x)n
n
∑
1
n(n + 1)．
2
k=1
k=1
n
n
∑
∑
(2) (k + 1)3 − k 3 = 3k 2 + 3k + 1 の両辺を k について 1 から n まで加えると，(n + 1)3 − 1 = 3
k2 + 3
k + n とな
2-5. (1) 2
k = (1 + n) + (2 + (n − 1)) + · · · + ((n − 1) + 2) + (n + 1) = n(n + 1)．よって，
る．ここで (1) を用いると (少し計算，変形をして)，
∫
x
2
(3)
t dt = lim
n→∞
0
k=1
n (
∑
kx )2 x
k=1
n
n
∑
k=1
k=
k=1
1
k 2 = n(n + 1)(2n + 1) を得る．
6
n
x3 (
1 )(
1 ) 1 3
x3 ∑ 2
k = lim
1+
1+
= x .
= lim 3
n→∞ 3
n n→∞ n
n
2n
3
k=1
x
1−x
2-6. (1) (i) √
(ii)
.
2
1 + x2
1−x
(2) 次のように，線分をつなぎ合わせた形になる．
2
2-7.xa は x > 0 に対して定義される関数なので，分けて考える．

−(1 − x)1/3 , (x < 1),
 1 (1 − x)−2/3 , (x < 1),
y=
．したがって，y ′ = 3
．ただし，x = 1 では微分できない．
(x − 1)1/3 ,
 1 (x − 1)−2/3 , (x > 1)
(x = 1)
3
2-8. (1)
−ex
+1
e2x
(2)
a
x2 + a2
(3) 0.
2-9. (1) y = Arctan(log x). tan(y) = log x の両辺を x で微分すると，
1
1
= 1 + (log x)2 より y ′ =
.
cos2 y √
x(1 + (log x)2 )
1 − sin(x)
− cos(x)
(2) y =
,
y′ = √
2
2 2(1 − sin x)
y′
1
= ．
cos2 y
x

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