6/27 解答3

基礎数学 1 2014 年度前期 (水曜 3 限)
6 月 26 日松岡多利思
基礎数学 1
宿題 3 解答
1. 定義より,
y2 h
(x + h)y 2 − xy 2
= lim
= y2
h→0 h
h→0
h
x(y + h)2 − xy 2
x(2yh + h2 )
fy (x, y) = lim
= lim
= lim x(2y + h) = 2xy
h→0
h→0
h→0
h
h
fx (x, y) = lim
2. (a) fx = 2x, fy = 6y 2
(b) fx = axa−1 y b , fy = bxa y b−1
(c) fx = yxy−1 , fy = xy log x
(d) fx = fy =
1
x+y
(e) fu = 9(3u − 2v)2 , fv = −6(3u − 2v)2 であり, さらに ux = y2 , uy = − 2x
y 2 , vx = 2x, vy = 1 なので,
(
)(
)2
2
3
3x
− 6(3u − 2v)2 × 2x = 24
− 2x
− x2 − y
y
y
y
(
)
(
)(
)2
2x
3x
3x
2
2
2
fy = fu uy + fv vy = 9(3u − 2v) × − 2 − 6(3u − 2v) × 1 = −24
+1
−x −y .
y
y2
y
√
v2
(f) fu = 12 √
, fv = 2 uv であり, さらに ux = 2x, uy = 2y, vx = vy = 1 なので,
fx = fu ux + fv vx = 9(3u − 2v)2 ×
u
√
1 v2
(x + y)(3x2 + xy + 2y 2 )
√ × 2x + 2 uv × 1 =
√
,
2 u
x2 + y 2
√
1 v2
(x + y)(2x2 + xy + 3y 2 )
√
fy = fu uy + fv vy = √ × 2y + 2 uv × 1 =
.
2 u
x2 + y 2
f x = f u u x + f v vx =
3. fx = yexy , fy = xexy , fxy = fyx = exy + xyexy , fxx = y 2 exy , fyy = x2 exy
√
4. f (x, y) = log x2 + y 2 の偏導関数 fx と fy は
fx =
x2
x
,
+ y2
fy =
x2
y
+ y2
となるので, それぞれをさらに x と y で偏微分することにより
fxx =
−x2 + y 2
,
(x2 + y 2 )2
fyy =
x2 − y 2
(x2 + y 2 )2
を得る. ゆえに fxx + fyy = 0.
5. z = f (x)g(y) の偏導関数 zx と zy は
zx = f ′ (x)g(y),
zy = f (x)g ′ (y)
となり, さらに zx を y で偏微分することにより
zxy = f ′ (x)g ′ (y)
を得る. これより,
zx zy = f ′ (x)g(y)f (x)g ′ (y) = f (x)g(y)f ′ (x)g ′ (y) = zzxy
が成立する.
6. f (x, y, z) = (x2 + y 2 + z 2 )− 2 の偏導関数 fx , fy , fz は
1
fx = −x(x2 + y 2 + z 2 )− 2
3
fy = −y(x2 + y 2 + z 2 )− 2
3
fz = −z(x2 + y 2 + z 2 )− 2
3
となる. それぞれをさらに偏微分することにより,
fxx = −(x2 + y 2 + z 2 )− 2 + 3x2 (x2 + y 2 + z 2 )− 2
3
5
fyy = −(x2 + y 2 + z 2 )− 2 + 3y 2 (x2 + y 2 + z 2 )− 2
3
5
fzz = −(x2 + y 2 + z 2 )− 2 + 3z 2 (x2 + y 2 + z 2 )− 2
3
5
を得る. よって
fxx + fyy + fzz = −3(x2 + y 2 + z 2 )− 2 + 3(x2 + y 2 + z 2 )(x2 + y 2 + z 2 )− 2
3
5
= −3(x2 + y 2 + z 2 )− 2 + 3(x2 + y 2 + z 2 )− 2 +1
3
5
= 0.
7. f (x, y) = log
√
1 + x2 + y 2 の偏導関数 fx , fy は
1
2
√
2x
1+x2 +y 2
x
fx = √
=
,
2 + y2
2
2
1
+
x
1+x +y
1 √ 2y
2
y
1+x2 +y 2
fy = √
=
,
2 + y2
2
2
1
+
x
1+x +y
となるので, 点 (x, y) における全微分は
dz =
xdx + ydy
1 + x2 + y 2
となる.
8. (a) fx (x, y) = 2+y, fy (x, y) = 3+x なので fx (a, b) = 2+b, fy (a, b) = 3+a. また z = f (a, b) = 2a+3b+ab
であるから, 求める接平面の方程式は,
z − f (a, b) = fx (a, b)(x − a) + fy (a, b)(y − b) ⇐⇒ z − (2a + 3b + ab) = (2 + b)(x − a) + (3 + a)(y − b)
⇐⇒ z = (b + 2)x + (a + 3)y − ab
となる.

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