数学演習 A 問題（解析 1A）略解 No.3
3-1. (1) 3 (2)
1
1
3
(3) (4) log (5) は下．(6) 0
2
6
2
−2 sin2 θ2
x − Arcsinx
sin θ − θ
cos θ − 1
1
=
lim
=
lim
=
lim
=− .
x→0
θ→0 sin3 θ
θ→0 3 sin2 θ cos θ
θ→0 12 sin2 θ cos2 θ cos θ
x3
6
2
2
(5) lim
x
3-2. ともに 0．(1) は xe−x = x に対してロピタルの定理を用いればよい．
e
(2) はロピタルの定理を何度も用いるか，または帰納法によればやさしい．
3-3. (1) ロピタルの定理より，
log x
x−1
=
lim
= 0.
x→0+ x−1
x→0+ −x−2
lim x log x = lim
x→+0
x → +0 のとき log(xx ) = x log x が 0 に収束するので，対数関数の連続性より xx は 1 に収束する．
(2) 0 < x < e−1 では単調減少，x = e−1 で極小値をもち，x > e−1 では単調増加で x → ∞ のとき発散するよ
うにグラフを描くこと．なお，(1) より xx → 1 (x → +0) である．さらに y ′ = xx (1 + log x) → −∞ であるこ
とから，x → +0 のときの収束の様子をグラフに表すこと．
√
1
π
π
π
π
3-4. (1) 1 + (x − 1), tan( ) + (cos2 ( ))−2 (x − ) = 3 + 4(x − ).
2
3
3
√
√ 3
√3
(2) 1.04 ; 1 + 12 (1.04 − 1) = 1.02, 10400 ; 100 1.04 = 102.
√
π
π
61◦ = π3 + 180
に注意すると，tan 61◦ ; 3 + 4 180
; 1.73 + 4×3.14
180 ; 1.80
3-5. a < 0 のときは明らかに極限は 0．a = 0 のときは，n − 1 5 a < n をみたす自然数 n をとると，x = 1 に対
して xn−1 e−x 5 xa e−x 5 xn e−x が成り立つことに注意する．問題 3-2 より， lim xn−1 e−x = lim xn e−x = 0
x→∞
だから， lim xa e−x = 0．
x→∞
x→∞
3-6. (1) 部分積分を実行すると，
∫
b
′
∫
′
′
′
∫
b
f (x)(−(b − x)) dx = f (a)(b − a) +
f (x)dx =
a
b
a
f ′′ (x)(b − x)dx
a
となるから，これを与えられた等式に代入すればよい．
(2) (1) と同様に部分積分より
∫
b
′′
∫
b
f (x)(b − x)dx =
a
a
∫
)′
( 1
1 ′′
1 b ′′′
2
2
f (x) − (b − x) dx = f (a)(b − a) +
f (x)(b − x)2 dx
2
2
2 a
′′
となるから，(1) の右辺の積分に代入すればよい．
(3) 数学的帰納法．