解説 - H.Yagyu Web

高３数 γ
No. 7
数列と極限（３）
（理系問題演習／柳生）
（平成１６年京都大）
問 14
n を 2 以上の自然数とする．x2n を x2 − x +
lim an , lim bn を求めよ．
n→∞
n→∞
n−1
で割った余りを an x + bn とするとき，
n2
"
n−1
多項式 Q(x) を用いて x = x − x + 2
Q(x) + an x + bn と書ける．
n
!
"!
"
n−1
1 1
1
n−1
1 n−1
2
2
x −x+ 2 =x −x+ − 2= x−
x−
なので，これに x = ,
を代入すると
n
n n
n
n
n
n
1
1

1
 an + bn = 2n · · · "
n
n !
"2n
n−1
n−1


an + b n =
···"
2
n
n
"
2 !− "
1 より
"
!
"2n
n−2
n−1
1
an =
− 2n
n
n
n



'
(
'!
!
" !
"2n
"−n (−2

n
1
1
1
1
 1 
∴ an =
1−
− 2n = 
1
−
−
2 
n−2
n
n
n
n2n
1−
n
1
−2
−→(n→∞) 1 · (e − 0) = 2
e
また "
2 より，
1
1
1
bn = − an + 2n −→(n→∞) 0 · 2 + 0 = 0
n
n
e
2n
!
2014/6/4
2
備考：e の定義については次の形で覚えておくとよい．
1
1
1
lim (1 + x) x = lim (1 + x) x = lim (1 + x) x = e
x→0
x→+0
x→−0
x が右（正方向）から近づいても左（負方向）から近づいても同じ極限 e に収束することに注意しよう．
!
"n
!
"−n
1
1
［練習１］ lim 1 +
= e を用いて， lim 1 −
= e を証明せよ．
n→∞
n→∞
n
n
［練習２］次の極限を求めよ．
!
"x
log (1 − x)
x
(1) lim
(2) lim
x→0
x→∞ x + 1
x
(3) lim
x→∞
!
"x
x
x−1
（解答）
［練習１］
n
!
"
!
"
!
"n !
"
!
"n '!
"n−1 ( n−1
1 −n
n − 1 −n
n
n−1+1 n
1
1
1−
=
=
=
= 1+
=
1+
−→ e1 = e
n
n
n−1
n−1
n−1
n−1
［練習２］
(1) −1
(2)
1
e
(3) e
（平成１７年東大）
log x
とする．n は自然数とする．
x
an + bn log x
(1) 数列 {an }, {bn } を用いて，f (n) (x) =
と表されることを示し，an , bn に関する漸化式を
xn+1
求めよ．
n
2
1
(2) hn =
とおく．hn を用いて an , bn の一般項を求めよ．
k
k=1
問 15
x > 0 に対し f (x) =
1
· x − log x · 1 1 − log x
x
$
(1) n = 1 のとき f (x) =
=
であるから，a1 = 1, b1 = −1 とできる．
x2
x2
an + bn log x
f (n) (x) =
(n ! 1) と表されているとき，両辺を x で微分して
xn+1
bn n+1
·x
− (an + bn log x)(n + 1)xn {b − (n + 1)(a + b log x)}xn
n
n
n
x
(n+1)
f
(x) =
=
x2(n+1)
x2(n+1)
−(n + 1)an + bn − (n + 1)bn log x
=
xn+2
となるから，
'
an+1 = −(n + 1)an + bn · · · "
1
bn+1 = −(n + 1)bn · · · "
2
an+1 + bn+1 log x
を用いて f (n+1) (x) =
と表されるから，n + 1 においても成り立つ．これで数学的帰納
xn+2
法により示された．
(2) "
2 より，bn = (−n){−(n − 1)} · · · (−2)(−1) = (−1)n n!
これを "
1 に代入して an+1 = −(n + 1)an + (−1)n n!
(−1)n+1
(−1)n+1 an+1 (−1)n an
1
両辺に
を掛けると =
−
(n + 1)!
(n + 1)!
n!
n+1
(−1)n an
1
とおくと c1 = −1, cn+1 − cn = −
n!
n+1
ゆえに n ! 2 のとき
"
n−1 !
n
2
2
1
1
cn = −1 +
−
=−
= −hn
k+1
k
k=1
k=1
cn =
よって an = (−1)n n!cn = (−1)n+1 n!hn (n = 1 のときもこれでよい)
備考：(2) は次のように求めてもよい．
an+1 an
1
bn $= 0 なので，"
= −
1 を"
2 で割って bn+1 bn n + 1
an
1
a1
dn = とおくと dn+1 − dn = −
, d1 = = −1 よって dn = −hn
bn
n+1
b1
∴ an = −hn bn = (−1)n+1 n!hn

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