数学の楽しみ 1D［第 6 回の補足］
授業で次の補題について説明した際，一意性の証明をしなかった．それを補足する．
補題 3
任意の実数 a に対し，
n≤a<n+1
を満たす整数 n がただ一つ存在する．
（一意性の証明）そのような n が 2 つあったとして，それらを n1 , n2 ∈ Z とする．すなわち
n1 ≤ a < n1 + 1,
n2 ≤ a < n2 + 1.
(∗)
そのとき n1 = n2 であることを示したい．仮に n1 6= n2 だとすると，n1 < n2 か n1 > n2 である．n1 < n2
として一般性を失わない．すると，n1 と n1 + 1 の間に整数が存在しないことから n1 + 1 ≤ n2 となるが，こ
れと (∗) を組み合わせると
a < n 1 + 1 ≤ n2 ≤ a
となって矛盾である．ゆえに n1 = n2 ．
1

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