1 (t + |t - x| ∫ = { t - x (t ≧ x) -(t - x ) (t ≦ x) txy = |t - x| txy = |t

✞
☎
✞
☎
例題 (絶対値のついた定積分)
✝
✆
∫ 1
f (x) =
(t + |t − x|)dt で定義される関数 f (x) について，
0
(1) f (x) を計算せよ。
✝
(2) f (x) の最小値を求めよ。
✆
∫
f (x) =
f (t)dt 積分前『dt』と書いてあるので，t の関数。
積分後『f (x)』と書いてあるので，x の関数。
● 絶対値をはずして積分するのが基本ですが，✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
積分前は t の関数ですので，x は定数です。
〔解答〕
{
(1) |t − x| =
(i) x
t − x (t
y = |t − x|
x)
−(t − x) (t
x)
1 のとき。
|t − x| = −(t − x) (0
∫
1) となるので
t
t
1
{t − (t − x)} dt
f (x) =
0
1
✿
x
0
[ ]1
= xt = x
y = |t − x|
0
(ii) 0
x
|t − x| =
1 のとき。
{
−(t − x) (0
t
x)
t−x
t
1)
∫
(x
x
∫
1
{t − (t − x)} dt +
f (x) =
0
となるので
0
{t + (t − x)} dt
x
t
✿
1
x
]1
[ ]x [
2
= xt + t − xt = x2 − x + 1
0
(iii) x
y = |t − x|
x
0 のとき。
|t − x| = t − x (0
∫
t
1) となるので
1
{t + (t − x)} dt
f (x) =
[
0
]1
= t2 − xt
x
= −x + 1
0



 −x + 1 (x 0)
(i), (ii), (iii) より f (x) =
x2 − x + 1 (0 x


 x (x 1)
1)
0
t
1
✿
(2) f (x) =
(
)2
1
3
x−
+
(0
2
4
1) より，
x
y
y = f (x) のグラフは右図のようになる。
3
グラフより最小値
4
(
1
x=
2
)
y = f (x)
1
3
4
O
✞
☎
✝問題 ✆
∫
x+2
|t − 2x|dt で定義される関数 f (x) について，
f (x) =
x
(1) f (x) を計算せよ。
(2) f (x) の最小値を求めよ。
1
2
1
x
〔解答〕
{
(1) |t − 2x| =
t − 2x (t
−(t − 2x) (t
2x ⇐⇒ x
(i) x + 2
2x)
2 のとき。
|t − 2x| = −(t − 2x) (x
∫
y = |t − 2x|
2x)
x + 2) となるので
t
t
x+2
f (x) = −
(t − 2x)dt
[
✿
x + 2 2x
x
x
]x+2
1 2
= − t − 2xt
2
x
= 2x − 2
(ii) x
2x
|t − 2x| =
x + 2 ⇐⇒ 0 x 2 のとき。
{
−(t − 2x) (x t 2x)
t − 2x
となるので
∫
y = |t − 2x|
∫
2x
f (x) = −
(2x
t
x
t
✿
x+2
(t − 2x)dt +
[
2x x + 2
x
x + 2)
y = |t − 2x|
(t − 2x)dt
2x
]2x [
]x+2
1
1
= − t2 − 2xt
+ t2 − 2xt
2
2
x
2x
= x2 − 2x + 2
(iii) 2x
x ⇐⇒ x
|t − 2x| = t − 2x (x
∫
0 のとき。
t
t
x + 2✿
2x x
x + 2) となるので
x+2
(t − 2x)dt = −2x + 2
f (x) =
x
(i), (ii), (iii) より f (x) =
(2) f (x) = (x − 1)2 + 1 (0



 −2x + 2 (x
0)
x − 2x + 2 (0


 2x − 2 (x 2)
2
x
2) より，
x
2)
y
y = f (x) のグラフは右図のようになる。
y = f (x)
グラフより最小値 1 (x = 1)
2
1
O
1
2
x

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