位相空間論 B（担当：小森）６月２５日：完備距離空間（宿題）この講義のホームページの URL http://www.f.waseda.jp/ykomori/topology1-2014.html 問題１以下を示せ。 (1) 距離空間の収束列はコーシー列である。 (2) 距離空間のコーシー列が収束部分列を持てば収束列である。 (3) 距離空間が点列コンパクトならば完備である。問題２以下を示せ。 (1) 実数直線 R は完備である。 (2) 開区間 (0, 1) は R の部分距離空間として完備でない。 (3) 有理数全体 Q は R の部分距離空間として完備でない。 (4) R は点列コンパクトでない。 (5) 閉区間 [0, 1] は R の部分距離空間として点列コンパクトである。問題３２つの完備距離空間 (X, dX ) と (Y, dY ) の直積距離空間 (X × Y, d) も完備であることを示せ。よって特に n 次元ユークリッド空間 Rn は完備距離空間である。 ∑∞ ℓ1 はベ問題４ n=1 |xn | < ∞ を満たす実数列 {xn } の全体を ℓ1 とする。このとき ∑∞ 1 クトル空間となり、{xn }, {yn } ∈ ℓ に対し、d({xn }, {yn }) := n=1 |xn − yn | とすると (ℓ1 , d) は完備距離空間になることを示せ。 ∑∞ ℓ2 は問題５ n=1 |xn |2 < ∞ を満たす実数列 {xn } の全体を ℓ2 とする。このとき √ ∑ ∞ 2 ベクトル空間となり、{xn }, {yn } ∈ ℓ2 に対し、d({xn }, {yn }) := n=1 |xn − yn | 2 とすると (ℓ , d) は完備距離空間になることを示せ。問題６ sup |xn | < ∞ を満たす実数列 {xn } の全体を ℓ∞ とする。このとき ℓ∞ はベクトル空間となり、{xn }, {yn } ∈ ℓ∞ に対し、d({xn }, {yn }) := sup |xn − yn | とすると (ℓ∞ , d) は完備距離空間になることを示せ。問題７閉区間 [a, b] 上の連続関数全体の集合 C[a, b] はベクトル空間となり、f, g ∈ C[a, b] に対し、d1 (f, g) := sup{|f (x) − g(x)| | x ∈ [a, b]} とすると、(C[a, b], d1 ) ∫b は完備距離空間になることを示せ。また d2 (f, g) := a |f (x) − g(x)| dx とすると、 (C[a, b], d2 ) は距離空間だが完備でないことを示せ。問題８距離空間 (X, d) の部分集合 A が有界であるとは、ある点 c ∈ X と δ > 0 が存在して A ⊂ U (c; δ) を満たすこととする。 (1) A が有界ならば、X の任意の点 b に対してもある η > 0 が存在して A ⊂ U (b; η) を満たすことを示せ。 (2) コーシー列は有界列であることを示せ。 1