第1回レポート問題解答 - lab.twcu.ac.jp

第 1 回レポート問題解答
位相幾何学 BI (担当: 新國)
2014 年 4 月 28 日 (月) 出題
問題. 以下の大問 1 , 2 の全てに解答せよ.
1 以下の設問に答えよ.
(1) 位相空間 X 及びその部分位相空間 A において, X が Hausdorﬀ 空間ならば,
A も Hausdorﬀ 空間であることを示せ.
(2) 位相空間 X, Y において, X, Y がいずれも Hausdorﬀ 空間ならば, 直積位相
空間 X × Y も Hausdorﬀ 空間であることを示せ.
2 単位 (n − 1) 次元球面
Sn−1 =
{
n
∑
n (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ R x2i = 1
}
i=1
において, N を Sn−1 上の点 (0, . . . , 0, 1) とし, 写像 φ : Sn−1 − {N} → Rn−1 を,
(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Sn−1 − {N} に対し
(
)
x1
x2
xn−1
φ (x1 , x2 , . . . , xn ) =
,
,... ,
1 − xn 1 − xn
1 − xn
で定義する. このとき, φ は全単射であることを示し, 更にその逆写像 φ−1 によ
る (x1 , x2 , . . . , xn−1 ) ∈ Rn−1 の値 φ−1 (x1 , x2 , . . . , xn−1 ) を具体的に表示せよ.
以上
解答.
1 (1) まずは部分位相空間と Hausdorﬀ 空間を復習しよう. O を X の位相, 即ち X
の開集合系とするとき, A の部分集合族 OA を
OA = {O ∩ A | O ∈ O}
で定義すると, これは A の位相となる (確かめよ). この OA を A における O の相対
位相といい, これにより位相空間と考えた A を X の部分位相空間というのであっ
た. 一方, X の任意の異なる 2 点 x1 , x2 ∈ X に対し, x1 の X におけるある開近傍
1
O1 , 及び x2 の X におけるある開近傍 O2 が存在して, O1 ∩ O2 = ∅ が成り立つとき,
X を Hausdorﬀ 空間というのであった.
さて, X を Hausdorﬀ 空間とし, A を X の部分位相空間とする. いま x1 , x2 ∈ A
を A の異なる 2 点とするとき, x1 の X におけるある開近傍 O1 , 及び x2 の X にお
けるある開近傍 O2 が存在して
O1 ∩ O2 = ∅
(i)
O1′ = O1 ∩ A, O2′ = O2 ∩ A
(ii)
が成り立つ. このとき
とおくと, 相対位相の定義から, これらは A の開集合で, また
x1 ∈ O1 ∩ A = O1′ , x2 ∈ O2 ∩ A = O2′
であるから, O1′ , O2′ はそれぞれ x1 , x2 の A における開近傍である. このとき, (ii)
及び (i) から
O1′ ∩ O2′ = O1 ∩ O2 ∩ A = ∅
が成り立つので, A は Hausdorﬀ 空間である.
(2) 直積位相空間についても復習しよう. OX , OY をそれぞれ X, Y の位相, 即ちそ
れぞれ X, Y の開集合系とするとき, まず
B = {U × V | U ∈ OX , U ∈ OY }
とおき, 更に X × Y の部分集合族 O を
{
}
∪
O=
Wλ Wλ ∈ B
λ∈Λ
と定義すると, これは X × Y の位相となる (確かめよ). この O を X × Y の直積位
相といい, これにより位相空間と考えた X × Y を, X と Y の直積位相空間という
のであった. 即ち, 直積位相空間 X × Y とは, X の開集合と Y の開集合の直積た
ちの和集合を開集合として得られる位相空間である. 特に B の各元を, 直積位相空
間 X × Y の初等開集合ともいう.
さて, x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ X × Y , x ̸= y としよう. このとき, x1 ̸= y1 ま
たは x2 ̸= y2 のいずれかが成り立つ. もし x1 ̸= y1 なら, X が Hausdorﬀ 空間であ
ることから, X のある開集合 U , U ′ が存在して,
x1 ∈ U, y1 ∈ U ′ , U ∩ U ′ = ∅
となる. このとき, O = U × Y , O′ = U ′ × Y は X × Y の開集合で, (iii) から
x ∈ O, y ∈ O′ , O ∩ O′ = ∅
2
(iii)
が成り立つ. 一方, x2 ̸= y2 なら, Y が Hausdorﬀ 空間であることから, Y のある開
集合 V , V ′ が存在して,
x2 ∈ V, y2 ∈ V ′ , V ∩ V ′ = ∅
(iv)
となる. このとき, O = X × V , O′ = X × V ′ は X × Y の開集合で, (iv) から
x ∈ O, y ∈ O′ , O ∩ O′ = ∅
が成り立つ. 以上により, X × Y は Hausdorﬀ 空間である.
2 まず, 写像 φ : Sn−1 − {N} → Rn−1 について復習しよう. 点 P (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈
Sn−1 − {N} に対し, 点 Q は, 原点 O を端点とする半直線と, Rn において第 n 座標
が 0 である部分位相空間 (これは Rn−1 とみなせる) との交点とする. いま, Q の座
標を (X1 , . . . , Xn−1 , 0) とおく (例えば n = 3 の場合が図 1). このとき, ある正の実
−→
−→
数 t が存在して NQ = tNP であるから,
(
)
−→ −→
−→ −→
OQ − ON = t OP − ON
−→
−→
−→
OQ = tOP + (1 − t)ON
となり, これより

X1
 .
 ..


 Xn−1
0






 = t






 
0
tx1

 .  
..

 .  
.
 + (1 − t)  .  = 

  
txn−1

 0  
xn
1
txn + 1 − t
x1
x2
..
.






(v)
となる. (v) の一番下の関係式より
t=
1
1 − xn
(vi)
となり, 故に (v) の残りの関係式と (vi) から, i = 1, 2, . . . , n − 1 に対し
Xi =
となる. 従って点 Q の座標は
Q
(
xi
1 − xn
)
x1
xn−1
,... ,
,0
1 − xn
1 − xn
である. そこで, 改めて写像 φ : Sn−1 − {N} → Rn−1 を, (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Sn−1 −
{N} に対し
(
)
x1
x2
xn−1
φ (x1 , x2 , . . . , xn ) =
,
,... ,
1 − xn 1 − xn
1 − xn
3
x3
N
P( x 1 , x 2 , x 3)
x2
O
Q( X 1 , X 2 , 0 )
x1
図 1:
で定義するのである.
さて, 今度は Q (x1 , x2 , . . . , xn−1 , 0) に対し, P (X1 , X2 , . . . , Xn ) を x1 , x2 , . . . , xn−1
で表してみよう (例えば n = 3 の場合が図 2). このとき, ある正の実数 t が存在し
−→
−→
て NP = tNQ であるから,
(
)
−→ −→
−→ −→
OP − ON = t OQ − ON
−→
−→
−→
OP = tOQ + (1 − t)ON
となり, これより

X1

 X2
 .
 .
 .




x1

 . 


 . 

 = t  .  + (1 − t) 





 xn−1 

Xn
0
 
0
tx1
 .
.. 
 .
. 
= .
 
0   txn−1
1
1−t






(vii)
となる. そこで, P (X1 , X2 , . . . , Xn ) ∈ Sn−1 から X12 + X22 + · · · + Xn2 = 1 なので,
(vii) より
t2 x21 + · · · + t2 x2n−1 + (1 − t)2 = 1
{(
}
)
n−1
∑
2
t
1+
xi t − 2 = 0
i=1
となり, t ̸= 0 であることに注意すれば
t=
1+
2
∑n−1
i=1
4
x2i
(viii)
が得られる. 従って (vii), (viii) より
Xi =
1+
Xn = 1 −
2xi
∑n−1
i=1
1+
(i = 1, 2, . . . , n − 1),
x2i
2
∑n−1
i=1
∑n−1 2
−1 + i=1
x
=
∑n−1 2 i
2
xi
1 + i=1 xi
となるので, 点 P の座標は
(
)
∑
2
−1 + n−1
x
2x1
2xn−1
i
i=1
P
,... ,
∑
∑n−1 2 ,
∑n−1
2
2
1 + n−1
x
1
+
x
1
+
i=1 i
i=1 i
i=1 xi
である. そこで写像 ψ : Rn−1 → Sn−1 − {N} を, (x1 , . . . , xn−1 ) ∈ Rn−1 に対し
(
∑n−1 2 )
−1 + i=1
x
2x1
2xn−1
ψ (x1 , . . . , xn−1 ) =
∑n−1 2 , . . . ,
∑n−1 2 ,
∑n−1 2 i
1 + i=1 xi
1 + i=1 xi
1 + i=1 xi
で定義する.
x3
N
P( X 1 , X 2 , X3)
x2
O
Q( x 1 , x 2 , 0 )
x1
図 2:
以下, 我々の目標は
ψ ◦ φ = idSn−1 −{N} ,
(ix)
φ ◦ ψ = idRn−1
(x)
を示すことである. これらが成り立つと, φ は全単射となり, また ψ は φ の逆写像
φ−1 となる. そこで, まず (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Sn−1 − {N} に対し,
ψ ◦ φ (x1 , x2 , . . . , xn )
)
(
x1
xn−1
=ψ
,... ,
1 − xn
1 − xn

2x1
1−xn

=
1+
∑n−1
i=1
(
xi
1−xn
∑n−1 (
2xn−1
1−xn
)2 , . . . ,
1+
∑n−1
i=1
5
(
xi
1−xn
)2 ,
)2 
−1 + i=1

∑n−1 ( xi )2  (xi)
1 + i=1 1−xn
xi
1−xn
となる. ここで x21 + x22 + · · · + x2n = 1 であることに注意すると,
1+
n−1 (
∑
i=1
xi
1 − xn
)2
=1+
1 − x2n
2
1 + xn
=
2 = 1+
1 − xn
1 − xn
(1 − xn )
(xii)
であるから, (xi), (xii) より
(
ψ ◦ φ (x1 , x2 , . . . , xn ) =
2x1
1−xn
2
1−xn
,... ,
2xn−1
1−xn
2
1−xn
,
−2 +
2
1−xn
)
2
1−xn
= (x1 , x2 , . . . , xn )
となる. 即ち, ψ ◦ φ = idSn−1 −{N} である. 一方, (x1 , . . . , xn−1 ) ∈ Rn−1 に対し,
φ ◦ ψ (x1 , . . . , xn−1 )
(
∑n−1 2 )
−1 + i=1
x
2x1
2xn−1
=φ
∑n−1 2 , . . . ,
∑n−1 2 ,
∑n−1 2 i
1 + i=1 xi
1 + i=1 xi 1 + i=1 xi


2x
=
1
2x1
∑n−1
1+ i=1
x2i
∑n−1 2
−1+ i=1 xi
− 1+∑n−1
2
i=1 xi
,
1
2x
∑ 2
2
1+ n−1
i=1 xi
∑n−1 2
−1+ i=1 xi
− 1+∑n−1
2
i=1 xi
,... ,
1
∑n−1 2
1+ n−1
i=1 xi
∑
2
−1+ n−1
i=1 xi
− 1+∑n−1
2
x
i=1 i

(xiii)
となる. ここで
∑
2
−1 + n−1
2
i=1 xi
1−
=
∑n−1
∑
2
1 + i=1 x2i
1 + n−1
i=1 xi
(xiv)
であるから, (xiii), (xiv) より

φ ◦ ψ (x1 , . . . , xn−1 ) =
2x1
∑n−1
2
 1+ i=1 xi
2
∑
2
1+ n−1
i=1 xi
(
,
2x
∑ 2
2
1+ n−1
i=1 xi
2
∑
2
1+ n−1
i=1 xi
2x1
2xn−1
=
,... ,
2
2
= (x1 , . . . , xn−1 )
)
,... ,
2xn−1
∑
2
1+ n−1
i=1 xi
2
∑
2
1+ n−1
i=1 xi


となる. 即ち, φ ◦ ψ = idRn−1 である. 従って (ix), (x) が成り立つので, φ は全単射
であり,
φ−1 (x1 , . . . , xn−1 ) = ψ (x1 , . . . , xn−1 )
)
(
∑
2
x
−1 + n−1
2xn−1
2x1
i
i=1
,... ,
=
∑
∑n−1 2 ,
∑n−1
2
2
x
x
1 + n−1
1
+
1
+
i=1 i
i=1 i
i=1 xi
である.
6

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