スライド 1

ベルヌーイの定理を
ベクトルのまま導出する方法と、
その物理的意味の直感的理解
三重大学・大学院生物資源学研究科
共生環境学専攻
地球環境気候学研究室
教授立花義裕
ベルヌーイ(Bernoulli)の定理
U
1

 (U  )U   P    U
t



非粘性、定常流(  0 )を考える
t
移流項をちょっとだけ書き換えておく‥




これはベクトルを成分に分解して、
ひたすら解くと左=右となることが
分かります。各自で確かめてね！
1
(U  )U   U  U  U    U である。
2
これを代入すると



非圧縮性流体(   const )
で考えると
1
P
P  
であるので

1
1
 U U  U    U   P  
2




1 2 P

 U      U   U  0 ①

2


この式の両辺と U の内積を計算する
①は F (力)の式であるから F U を行うことになる
U
r
1
であるから F  U  F r 
t
t
F r は仕事である
ここで‥


U   U  U 


1 2 P

 U      U   U  0
2


であるから 
dr
①  U はどうなるかというと‥‥ U 
であるので
dt


1 2 P
 dr
 U    
 U  U   0

2
 dt
1 2 P
 dr
 U    
0

2
 dt
1 2 P

 U    d r  0

2

1 2 P

d  U      0

2

U と U  は直交するので
よって‥
ベルヌーイの定理
1 2 P
U     Const
2

力学的エネルギーの保存則を意味する。
ベルヌーイ関数は
どのような場合保存されるか？
F U を行う→流れの方向の力の成分と、流れの方向への単位時間の移動のかけ算
→流れに沿った仕事を求めている。
流線上に沿っての仕事を計算した。→流線に沿って一定値を保つ。つまり保存する。
渦があっても良い。
定常流でないと保存しない.粘性流体はダメ。
実は、流線に沿わなくても、渦度ベクトルと流線の向きのベクトルで作られる面上
であれば、一定値を保つ、つまり保存する。
←を考察すれば
U

U


0
2
1
P
その理由が解る
U     Const




2
2
(
v2
1

2
2

v1
2
)
( p2  p1 ) 
1

1

( p2  p1 )  (2  2 )  0
dp 
1

p  dr
運動エネルギーの変化＋圧力に逆らってした仕事＋重力ポテンシャルの変化＝０

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