2 剛体の運動 2.1 1) 剛体のプリミティブな運動並進運動剛体を構成するすべての質点が平行な運動軌道を描く場合，並進運動（translation）という．剛体の運動の軌道は，大局的に見れば，直線の場合もあれば曲線を描くこともある，しかし，無限小の（infinitesimal）時間を考え，その時間内の剛体上の質点を局所的に捉えると，これらは（もし変位があるとすると），直線的に動いている．すなわち並進していると考える． ①速度解析剛体上の質点  A ，  B の無限小時間 dt における変位がそれぞれ ri  i  A, B  であったとすると，質点の速度 vi は，それぞれ， vi Dri dri = t 0 Dt dt = lim で与えられる．この場合，剛体上のすべての点は，同じ速度と加速度をもつ．これを，図 2.1 を用いて説明する．図 2.1 剛体の並進運動今，座標系 Σ O で観測した剛体の上の点 A ，点 B の位置ベクトルをそれぞれまた点 B の，点 A から見た位置ベクトルを O rB  O rA  A rB A rB とすると， (2.1) 式(2.1)の両辺を t で微分して， d O d d rB  O rA  A rB dt dt dt (2.2) 剛体の性質から， 1 O rA ， O rB とし， d A rB  0 dt (2.3) したがって，式(2.3)を式(2.2)に代入することにより， d O d rB  O rA dt dt したがって， (2.4) Σ O で観測した剛体の上の点 A ，点 B の速度ベクトルをそれぞれ， O vA ， O vB とすると，式(2-1)は， O vA  O vB (2.5) つまりこれは，並進運動によってもたらされる剛体上の２点 A ， B における速度を Σ O で観測したものは，つねに等しいことを意味している．これから一般に， Σ O で観測した，「並進運動によってもたらされる剛体上の任意の２点における速度は，つねに等しくなる．」 (2.6) と言える． ②加速度解析加速度を議論するためには，ここまでと同様にして，式(2.4)をさらに時間で微分することにより， d2 O d2 O r  rB A dt 2 dt 2 (2.7) を得る．これは， Σ O で観測した剛体の上の点 A ，点 B の速度ベクトルをそれぞれ， O aA ，O aB とすれば， O つまり， aA  O aB (2.8) Σ O で観測した，「並進運動によってもたらされる剛体上の任意の２点における加速度も，つねに等しい」 (2.8) ことを意味している． 2 ■例題：先の 1.5 で学んだ，下図 2.2（テキストでは図 1.5 (a)）に示機構の基本的なモデリング概念される 4 リンク機構のエレメントの速度について考える．これは，機構の自由度 N DOF  1 であった．今，点 A のジョイントを角速度   4 rad / s で駆動するとき，リンク 1 に張られた座標系 1 で見て，点 B および点 C における速度成分の中に，互いに等しいものがある．これを図示して求め，理由を述べよ．（たとえば，リンク 2 の長さ l2  1 m ，ジョイント A ， B の初期角度をそれぞれ，  3  rad,   rad 4 3 とせよ．） A 図 2.2 4 リンク機構 2) 固定軸まわりの回転運動（rotation） ①速度解析剛体を構成する質点が円（孤）を描き，その中心が固定軸上に中心をもつ運動のことである．図 2.3 において， z 軸のまわりに角速度（angular velocity） で回転する剛体上の，点 C の運動を表現することを考える．以下，断りのない限り，位置ベクトルは Σ O で観測した値として， O 位置ベクトルを表す文字の左肩添え字 “ ”を省略する． 3 図 2.3 剛体の z 軸まわりの回転運動今，点 C の位置ベクトルを rC （原点からの距離を r ）とすると，この点における速度 vC は， d rC dt    rC vC   (2.9) d e z  rC dt ただし， e z は z 軸方向の単位ベクトルである．また，角速度の大きさ  は，同図の  との間に  d   t  0 t dt   lim の関係がある．最終的に，図 2.3 右側図のように速度の方向の単位ベクトル eC t  を定義すれば，後注※3)①に示すように (2.9)  d  t  eC rC sin  dt (2.10) となる． ②加速度解析また，加速度 aC については， aC  d vC dt 式(2.9)を代入して，  d   rC  dt ここで一般に，外積演算の時間微分演算については，後注※3)②に示すように， 4 d d d   r     r    r dt dt dt = d  r  v dt (2.11) で表わされる． d  は，剛体の運動の角加速度（angular acceleration）と呼ばれるもので， dt 図 2.3 の場合であれば，  を式(2.11)において， d   dt と定義すれば，これは， z 軸の単位ベクトル e z を用いて，  d d2 e z  2  ez dt dt (2.12) と，角加速度の大きさと回転軸方向をもって表現されるものである． 3) 注※① 図 a2.1 を用いた式(2.10)の説明図 a2.1 速度方向の単位ベクトルまず，以下のように，角速度ベクトル  ，位置ベクトル r を定義する．  x       y     z  rx    r   ry  r   z 角速度の大きさを  とすると， z 軸まわりを考えているので， 0     0  1  5 として，式(2.9)は，  ry    ry  0   rx          r   0    ry     rx    rx  0  0  1   rz      (a2.1) ここで，図 2.3 の幾何学的な考察により， rx  r sin  cos  ry  r sin  sin  を代入して，   sin     (a2.1)   r sin  cos     0  eC (t ) が得られる． 3) 注※② d   r  の計算 dt x 成分のみを示す． (a2.2)  x       y     z  rx    r   ry  r   z とおくと，式(a2.2)は， d d d  d d  y rz  z ry    y  rz   y  rz   z  ry  z ry   dt dt dt dt   dt d d d  d      y  rz   z  ry     y rz   z ry  dt dt   dt   dt d  d       r     r  dt  x  dt x  d  d    r   r  dt  x  dt y, z も同様である．したがって， d d d   r     r    r dt dt dt 6 (2.11)