振動学問題[1] 解答 1 1. (a) ばねの自然長の位置からおもりが xa だけ変位したとき，おもりに作用する力は，ばね力 kxa と重力 mg ．したがって運動方程式は mxa  kxa  mg ⇒ mxa  kxa  mg (b) つり合いの位置からおもりが xb だけ変位したとき，おもり k に作用する力は，ばね力 k ( xb  d ) と重力 mg ．したがって運動方程式は mxb  k ( xb  d )  mg ⇒ mxb  kxb  0 注：(a)と(b)の 2 つの運動方程式は同じ対象の運動を表すものであるから，それらの解は当然全く同じ結果を示す（座標が d だけずれているだけ）．したがって，右辺が 0 となる(b)の場合（つり合いの位置を基準にして座標をとる）の方が得策である．自然長の位置を基準にしたい場合は，まず(b)の方法で取り扱って解を求め，その後 xa  xb  d の変換を行えばよい． kd mg kxa k ( xb  d ) 0 d 0 xa xb mg 図1 2. ばね定数 k 100[ N/m] ，質量 m  5[kg] ，固有角振動数 n  k  4.47[rad/s] ， m n 1 k 1 固有振動数 f n    0.712[Hz ] ，（固有）周期 Tn   2 m 1.41[s] 2 2 m fn k 3. おもりの重さ（重力） W 10[ N] より，おもりの質量 m  W 1.02[kg] ． g ばね定数を k ，つり合いの状態のばねののびを x0 とすると，つり合い位置でばね力と重力は等しいので kx0 W ( mg ) ．したがって k  W  333[ N/m] ． x0 これらより，固有角振動数 n  k  W 18.3[rad/s] ， m x0 固有振動数 f n  n 1 W x   2.91[Hz] ，（固有）周期 Tn  1  2 0  0.344[s] fn W 2 2 x0 4. つりあいの位置からのおもりの変位を x とすると，この系の運動方程式は mx kx  0 となり，これを解くことによりおもりの運動は，変位 x  Acosn t  B sinn t ，速度 x   An sinn t  Bn cosn t と表される．これらに初期条件 t  0 で x  0 および t  0 で x  v0  0.2[m/s] を代入すると A  0 および B  v0 /n と決定され，変位 x  (v0 /n )sinn t ，速度 x  v0 cosn t となる．変位の式より，発生する振動の変位振幅 a  v0 /n  0.0447[m]  4.47[cm] ．また，速度がはじめて 0 となる時刻を t1 とすれば，速度の式より nt1  / 2 ，したがって t1  /(2n )  0.351[s] ．