2014 年 早稲田大学 教育学部
解答
１
(1) x > 0 において
x3 − 6x2 + 11x − 4 = ax ⇐⇒ x2 − 6x + 11 −
4
=a
x
であることを考え，
f (x) = x2 − 6x + 11 −
4
x
とおくと，
4
2(x3 − 3x2 + 2)
=
x2
x2
2(x − 1)(x2 − 2x − 2)
=
x2
√
√
2(x − 1)(x − 1 + 3 )(x − 1 − 3 )
=
x2
′
であり， f (x) の符号変化から x > 0 における f (x) の増減は
√
x
(0)
1
1+ 3
(∞)
+
0
−
0
+
f (x) (−∞) ↗ 極大 ↘
極小
↗ (∞)
f ′ (x) = 2x − 6 +
f (1) = 1 − 6 + 11 − 4 = 2
(
√ )
√
√
4
f 1 + 3 = (1 + 3 )2 − 6(1 + 3 ) + 11 − √
3 +1
√
√
√
4( 3 − 1)
√
=4+2 3 +5−6 3 − √
( 3 + 1)( 3 − 1)
√
√
√
= 9 − 4 3 − 2( 3 − 1) = 11 − 6 3
x > 0 において y = f (x) のグラフと直線 y = a ( > 0) が 3 点で交わる条件を考え，
√
11 − 6 3 < a < 2
⃝
2
⃝
1
(2) n 回目まで終了しないで n 回目に裏が出る場合の数を an とすると，ちょうど n+3
回目に終了する場合の数は an であるから， n 4 のとき
fn = f3 + a1 + a2 + a3 + · · · + an−3
2 回目までに終了することはないので，
a1 = 1, a2 = 2, a3 = 22 = 4
であり， n 4 のとき n 回目まで終了しないで n 回目に裏が出たとすれば，
• n 回目も n − 1 回目も裏
• n 回目が裏， n − 1 回目が表， n − 2 回目が裏
• n 回目が裏， n − 1 回目と n − 2 回目が表， n − 3 回目が裏
—— 1 ——
2014 年 早稲田大学 教育学部
解答
のいずれかに限られるから，
an = an−1 + an−2 + an−3
(n
4)
が成り立つ。 a4 から先を順に計算すると
a4 = a3 + a2 + a1 = 4 + 2 + 1 = 7
a5 = a4 + a3 + a2 = 7 + 4 + 2 = 13
a6 = a5 + a4 + a3 = 13 + 7 + 4 = 24
a7 = a6 + a5 + a4 = 24 + 13 + 7 = 44
よって，求める場合の数は
f10 = f3 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7
= 1 + 1 + 2 + 4 + 7 + 13 + 24 + 44
3
= 96 ⃝
a
< log10 7 ⇐⇒ a < 19 log10 7 = log10 7 19 ⇐⇒ 10 a < 7 19
19
であることを考え， 7 19 を調べると，
4 10 7 < 7 9 = 40353607 < 5 10 7 ,
2.8 10 8 < 7 10 = 282475249 < 3 10 8
より
11.2 10 15 < 7 9 7 10 < 15 10 15
∴ 1.12 10 16 < 7 19 < 1.5 10 16
(3)
よって，
4
a の最大値は 16 ⃝
b の最小値については，
b
log10 7 <
⇐⇒ b > 13 log10 7 = log10 7 13
13
⇐⇒ 7 13 = 96889010407 < 10 b
⇐⇒ 11
⃝
5
b
(4) AB = 7, BC = 8, CA = 9 とするとき，AD = 8, BD = 9, CD = 7 と定まる。
そこで， xyz 空間において A(a, b, 0), B(−4, 0, 0), C(4, 0, 0), D(x, y, h)
(b > 0, h > 0) とおくと，
ア
AB2 = (a + 4)2 + b2 = 49
······ ⃝
2
2
2
イ
CA = (a − 4) + b = 81
······ ⃝
⃝
ア −⃝
イ より
16a = −32
∴ a = −2
⃝
ア または⃝
イ に代入して
b2 = 45
—— 2 ——
2014 年 早稲田大学 教育学部
b > 0 より
√
b=3 5
解答
∴ A(−2, 3
√
5 , 0)
△ABC の面積 S は
√
√
1
S=
× 8 × 3 5 = 12 5
2
次に，
√
ウ
AD2 = (x + 2)2 + (y − 3 5 )2 + h2 = 64
······ ⃝
2
2
2
2
エ
BD = (x + 4) + y + h = 81
······ ⃝
2
2
2
2
⃝
CD = (x − 4) + y + h = 49
······ オ
オ より
エ −⃝
であるから， ⃝
16x = 32
∴ x=2
⃝
エ より
ウ −⃝
√
7
42 − 62 − 6 5 y + 45 = −17
∴ y=√
5
⃝
エ より
√
√
49
176
176
4 11
2
h = 81 − 36 −
=
∴ h=
= √
5
5
5
5
四面体 ABCD の体積 V は
√
√
√
1
1
4 11
6
× 12 5 × √
V = Sh =
= 16 11 ⃝
3
3
5
(別解 ) すべての面が合同である四面体 ABCD は，ある直方体の 4 頂点を結んで
実現できる。その直方体の
1 つの頂点に集まる 3 辺の長さを p, q, r として
2
2
2
p +q =7
カ
······ ⃝
2
2
2
⃝
q +r =8
······ キ
r2 + p2 = 92
ク
······ ⃝
カ +⃝
キ +⃝
ク より
とすると， ⃝
2
2
2p + 2q + 2r2 = 194
∴ p2 + q 2 + r2 = 97
ケ
······ ⃝
⃝
ケ −⃝
キ, ⃝
ケ −⃝
ク, ⃝
ケ −⃝
カ より
2
2
p = 33, q = 16, r2 = 48
直方体の体積から， 4 つの三角錐の体積を引くことにより，四面体 ABCD の
体積 V は
(
√
√
√
1(1 )
2)
V = pqr −
pq r × 4 = 33 4 4 3 × 1 −
= 16 11
3 2
3
⃝
6
—— 3 ——
2014 年 早稲田大学 教育学部
解答
２
4
π
, 0<θ<
より
5
√ 2( )
3
4 2
cos θ = 1 −
=
5
5
加法定理より
sin(n + 2)θ + sin nθ = 2 sin(n + 1)θ cos θ
であるから，
an+2 = 5 n+2 sin(n + 2)θ
3
= 2 5 n+2 sin(n + 1)θ
− 5 n+2 sin nθ
5
= 6 5 n+1 sin(n + 1)θ − 52 5n sin nθ
= 6an+1 − 25an
(1) sin θ =
であり， an+2 = Aan+1 + Ban と比べて
A = 6, B = −25 (答)
(2) まず，
a1 = 5 sin θ = 5 ×
4
=4
5
a2 = 52 sin 2θ = 52 × 2 sin θ cos θ = 52 × 2 ×
4
3
×
= 24
5
5
はともに 5 で割ると 4 余る整数である。
ak = 5bk + 4, ak+1 = 5bk+1 + 4 (bk , bk+1 は整数 ) と表されるとすれば， (1)で
導いた漸化式より
ak+2 = 6ak+1 − 25ak
= 6(5bk+1 + 4) − 25(5bk + 4)
= 5(6bk+1 + 4) + 4 − 5(25bk + 20)
= 5(6bk+1 − 25bk − 16) + 4
も 5 で割ると 4 余る整数となる。
よって，数学的帰納法 (の論理 ) により，すべての自然数 n に対して， an は 5 で
(証明おわり )
割ると 4 余る整数である。
(3) θ が円周率 π の有理数倍であるとすれば，ある自然数 n が存在して
nθ は π の整数倍
となって，
sin nθ = 0
∴ an = 5n sin nθ = 0
ところが， 0 は 5 で割リ切れて余りが 4 ではないから， (2)の結果に反する。
(証明おわり )
よって， θ は円周率 π の有理数倍ではない。
—— 4 ——
2014 年 早稲田大学 教育学部
解答
３
1
( x > 0) は減少関数であるから，
x
k+1
k
1
1
1
a n < x < a n において k+1 <
< k
x
a n
an
であり，定積分により大小関係が変わら (ず，等号成立条件を満たさ ) ないから，
)
)
(
(
∫ a k+1
n
k+1
k
k+1
k
1
1
1
n
n
n
n
a
−a
< k
−a
dx < a
k+1
k
x
an
a n
an
k = 0, 1, 2, · · · , n − 1 について辺々加えると，不等式の性質と定積分の加法性
より
)
)
∫ a
n−1
n−1
∑( k+1
∑( k+1
k
k
dx
1
1
n
n
n
n
a
−a
<
<
a
−a
k+1
k
x
1
k=0
k=0
a n
an
(証明おわり )
(1) 関数 y =
(2)
lim
n→∞
n−1
∑( k+1
a
n
−
k
an
)
1
a
k=0
k+1
n
= lim
n→∞
n−1
∑(
1
−n
1−a
)
k=0
(
)
− 1
= lim n 1 − a n
n→∞
1
−n
−1
1
−
n
( )′
= ax x=0 = ax log a
= lim
a
n→∞
∫
x=0
= log a
x=0
= log a
[
]a
dx
= log x = log a
x
1
1
)
n−1
n−1
)
∑( 1
∑( k+1
k
1
n
n
a
−a
= lim
lim
an − 1
k
n→∞
n→∞
k=0
k=0
an
( 1
)
= lim n a n − 1
a
n→∞
1
( )′
an − 1
= lim
= ax
n→∞
1
n
であるから，
lim
n→∞
n−1
∑( k+1
a
k=0
n
−
k
an
)
1
k+1
a n
∫
a
=
1
—— 5 ——
)
n−1
∑( k+1
k
dx
1
a n − an
= lim
k
n→∞
x
k=0
an
(証明おわり )
2014 年 早稲田大学 教育学部
解答
a1 < a2 < · · · < an−1 < an を正の整数とするとき，
A = {a1 , a2 , · · · , an−1 , an }
が良い集合であるための必要十分条件は
a1 a2 a3 · · · an−1 an
であることに注意する。
４
(1) p1 , p2 , · · · , pk を相異なる奇素数として，集合 A を
{
A = 2p1 , 22 p1 , · · · , 2k p1 ,
2p2 , 22 p2 , · · · , 2k p2 ,
······
}
2
2pk , 2 pk , · · · , 2k pk
と定めるとき， A の最良数も最悪数も k であることを証明する。
A の部分集合
{
}
{
}
Bi = 2pi , 22 pi , · · · , 2k pi , Cj = 2j p1 , 2j p2 , · · · , 2j pk
を考えると， Bi は良い集合， Cj は悪い集合であり，
n(Bi ) = n(Cj ) = k
である。
2i pj と 2 l pm は， j ̸= m ならば互いに割り切れず， Bi に属さない (A の ) 数を Bi
に追加すると良い集合ではなくなるから，A の良い部分集合は Bi の部分集合の形
に限られ，
A の最良数は n(Bi ) = k
である。
Cj に属さない任意の (A の ) 数 2 l pm に対して，
2j pm 2 l pm または 2 l pm 2j pm
が成り立ち， Cj ∪ {2 l pm } は悪い集合ではないから， A の悪い部分集合は Cj の部
分集合の形に限られ，
A の最悪数は n(Cj ) = k
である。
以上より， n(A) = k 2 かつ最良数も最悪数も k である集合 A が存在する。
(証明おわり )
(2) n(A) k 2 + 1 のとき，A の最良数が k + 1 以上なら証明は終わっている。以下，
A の最良数が k 以下であるとする。
A に属する数の最小値を a1 として，a1 を含む A の良い部分集合で，要素の個数
が最大のものを A1 とする。 A1 から Ai まで良い集合が定まり，そのいずれにも属
さない A の数がまだ残っているとき，その最小値を ai+1 として，ai+1 を含む A の
良い部分集合で，要素の個数が最大のものを Ai+1 とする。
ここで， A1 , · · · , Ai はそれぞれ良い集合として最大になるように定めたから，
—— 6 ——
2014 年 早稲田大学 教育学部
解答
各集合には ai+1 とは互いに割り切れない数が少なくとも 1 つずつあるが，初めに
述べた注意より
A1 , · · · , Ai の各集合に属する最大数は
いずれも ai+1 とは互いに割り切れない
ことがわかる。
A の最良数は k 以下であるから，特に
n(A1 ) k, n(A2 ) k, n(A3 )
k, · · ·
A2 , A3 , · · · は少なくとも k + 1
k 2 + 1 であるから，良い集合 A1 ,
であり，n(A)
個は作られることになる。そこで，
Ai に属する数の最大値を αi
(i = 1, 2, 3, · · · , k + 1)
とおき， A の部分集合
B = {α1 , α2 , α3 , · · · , αk+1 }
を定めると， B は悪い集合である。
(証明おわり )
(3)
2014 > 442 + 1
であるから， (2)より
条件を満たす集合 A の最良数と最悪数は 45 以上
である。
2014 = 45 × 44 + 34 < 452
であるから，(1)を参考にして，相異なる 45 個の奇素数 p1 , p2 , · · · , p45 を用いて
{
A = 2p1 , 22 p1 , · · · · · · , 245 p1 ,
2p2 , 22 p2 , · · · · · · , 245 p2 ,
············
2p44 , 22 p44 , · · · · · · , 245 p44
}
2p45 , 22 p45 , · · · , 234 p45
(答)
と定めると，集合 A は
n(A) = 2014, (最良数) = (最悪数) = 45
を満たす。
—— 7 ——
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