（第３時限：１００分）２０１４年度 ! 数学（理問題系）（全４ページ）注意事項１．試験開始の合図があるまで，この問題冊子の中を見てはいけません。２．問題文のにあてはまる適当なものを，解答用紙の所定の欄に記入しなさい。３．解答用紙１枚・下書用紙２枚は，この冊子の中に折り込んであります。４．試験終了後，問題冊子・下書用紙は持ち帰りなさい。 ! （Mab ）数学次のⅠ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳの設問について問題文のにあてはまる適当なものを，解答用紙の所定の欄に記入しなさい。 " k を３以上の自然数，C０を半径１の円とする。C０に内接する正 k 角形を P１，P１に内接する円を C１とする。すなわち，P１は k 個の頂点すべてが円 C０の周上にある正 k 角形であり，C１は P１の k 個の辺すべてに接する円である。以下同様に， n ＝２，３，４，・・・について順に，Cn−１に内接する正 k 角形を Pn ，Pn に内接する円を Cn とする。また，すべての自然数 n について，Pn の１辺の長さを an ，Pn の面積を Sn とする。〔１〕 k ＝３のとき，a１＝ a１＝ウ，S１＝アエ，S１＝イである。〔２〕各自然数 n に対して，an：an＋１＝１：が成り立つとき，k ＝〔３〕 " ! (S !!! ２n−１ − S２n ) ＝である。k ＝６のとき，カキオである。また，である。 S１であり，lim k →∞ キ S１＝ク " !S !!! n ＝k である。 ― １ ― ! （Mab ） " a を１でない正の数とする。関数 f ( x )，g( x ) を次で定める。 f ( x ) ＝ a x ＋ a −x ，g( x ) ＝ a x − a −x 〔１〕 f ( x ) は x ＝ lim x →∞ g( x ) ＝ f( x) 〔２〕ケのとき最小値コをとる。また，a ＜１のとき， g( x ) ＝ f( x) シである。， lim サ x →−∞ ! f ( x ) " −! g( x ) " ＝ス f( x ＋ y) ＝セ f( x) f( y) ＋ソ g( x ) g( y ) g( x − y ) ＝タ f ( x ) g( y ) ＋チ g( x ) f ( y ) ２２スが成り立つ。（注： ∼ チには x，y を用いない数値を入れること。）〔３〕 f ″ ( x ) ＝ f ( x ) が成り立つのは，a ＝ "! t 数 t に対して ! ４＋ f ′ (x) " dx ＝２ツのときである。このとき，実テである。０ ― ２ ― ! （Mab ） " ! ! 座標空間において，３定点 A (１，０，０)，B (０，２，０)，C (０，０，３) をとり，これら３点から等距離にある点 P ( x，y，z ) をとる。このとき，y，z は x を用いてそれぞれ y＝ト，z ＝ナと表される。点 P が３点 A ，B ，C の定める平面上にあるのは x＝ニ，y ＝ヌ，z ＝ネのときである。点 P は PA ＝ PB ＝ PC を満たしながら動くものとする。このとき，P を中心とし PA を半径とする球が xy 平面と交わってできる円の面積を S とする。S は x を用いて S ＝ノと表され，x ＝ハのとき最小値ヒをとる。 ― ３ ― ! （Mab ） " a を実数とする。曲線 C ：y ＝ x３＋ (３− a ) x２ −３x ＋ a −２は a の値にかかわらず，２点 P # % フ，へ $，Q# & % ホ，マ $ & を通る。直線 PQ と曲線 C が P，Q 以外の共有点をもたないのは，a ＝ a＝メである。点 P における曲線 C の接線と点 Q における曲線 C の接線は a ＝ # % き点 R またはのときであり，どちらの場合も直線 PQ と曲線 C で囲まれた部分のム面積はミヤ，ユ $ & で交わる。a ＝モモのとで a が変化するとき，点 R の軌跡は曲線 y＝ヨである。 ― ４ ― ! （Mab ）