（第３時限：１ ０ ０分） ２ ０ １ ５年度 ! 数 学 （理 問 題 系） （全４ページ） 注 意 事 項 １．試験開始の合図があるまで，この問題冊子の中を見てはいけません。 ２．問題文の にあてはまる適当なものを，解答用紙の所定の欄 に記入しなさい。 ３．解答用紙１枚・下書用紙２枚は，この冊子の中に折り込んであります。 ４．試験終了後，問題冊子・下書用紙は持ち帰りなさい。 ! （Mab ） 数 学 ! "，#，$の設問について問題文の 次の ， にあてはまる適当なものを， 解答用紙の所定の欄に記入しなさい。 " 座標平面上の点 P ( p ，q ) を通る傾き m の直線と放物線 y ＝ x２ が接している とする。このとき m は m２ ＋ m＋ ア イ ＝０ を満たしている。 点 P から放物線 y ＝ x２ に異なる２本の接線 l１ ，l２ が引けるための，p，q が満 たすべき必要十分条件は ウ である。l１ と l２ が直交するとき，点 P は直線 y＝ エ 上にある。 以下では，p，q が ウ を満たし，かつ q ＜ エ とする。 l１ ，l２ と放物線 y ＝ x２ との接点をそれぞれ Q，R として， ∠QPR を θ (０＜ θ ＜ π ) とおくとき，tan θ は p，q を用いて表すと tan θ ＝ オ である。 いま，点 P が θ ＝ π を満たしながら動くとき，点 P は方程式 ３ x２ − カ # %y＋ によって表される双曲線上の y ≦ ク ， ケ ケ $& ＝ ２ キ ク の範囲を動く。 $& # % カ ， キ ， は x，y を用いずに答えよ。 ― １ ― ! （Mab ） " 整数 m に対して，m が３の倍数であることは，m２ が３の倍数であるための必 ! a "の一般項が 要十分条件である。よって，数列 n an ＝ n２ と表されるとすると，最初の２０項 a１ ，a２ ， ・・・，a２０ のうち，３の倍数となる項は コ 個含まれている。それら３の倍数の項の総和は サ ! b "の一般項が s を自然数として，数列 である。 n bn ＝ ( n − s )２ と表されるとする。最初の２ ０項 b１ ，b２ ， ・・・，b２０ のうち，３の倍数となる項の個数 は，s が３の倍数のとき シ が３で割って２余る数のとき 個，s が３で割って１余る数のとき セ ス 個，s 個である。 b１ ，b２ ， ・ ・ ・，b２０ のうち，３の倍数となる項の総和を s の関数と見なして f ( s ) と おく。自然数 t に対して，f (３t ) を t で表すと f (３t ) ＝ ソ である。また， f (３t −１) − f (３t ) ＝ タ f (３t −２) − f (３t −１) ＝ である。よって，f ( s ) は s ＝ ツ ， チ において最小値 テ をとる。 ― ２ ― ! （Mab ） " c を実数とする。関数 f ( x ) に対して， ! !f ( x ) − c!dx， T ＝ !" f ( x ) − c #dx １ S ＝ １ ２ ０ ０ とおく。 〔１〕 f ( x ) ＝ x と す る。c ＝ c＝ ニ ハ の と き，S は 最 小 値 のとき，T は最小値 〔２〕 f ( x ) ＝ e x と す る。c ＝ c＝ ト ネ のとき，T は最小値 ヌ ナ を と り， ノ を と り， をとる。 の と き，S は 最 小 値 ヒ をとる。 〔３〕 ２以上の自然数 n に対して，f ( x ) ＝ x n とする。f ( x ) の x ≧０ での逆関数 を g( x ) とおくと， !" f ( x ) − c #dx ＝ !" g( x ) − c #dx １ １ ２ ０ ０ が成り立つのは，c ＝ lim cn ＝ n →∞ ヘ ２ フ のときである。このときの c を cn とおくと， である。 ― ３ ― ! （Mab ） " 空間に，立方体 PQRS−TUVW がある。この立方体に外接する球の中心を O と する。 〔１〕 ２点 A，B が立方体 PQRS−TUVW の８個の頂点のいずれかに位置するとき を考える。ただし，各点は同じ頂点に位置する場合もある。２点 A，B が同一 の頂点にある場合の数は 通りである。２点 A，B が同一直線上にある ホ 場合の数は，２点 A，B が同じ頂点にある 頂点にある マ ホ 通りと２点 A，B が異なる 通りの合計として求められる。また，３点 O，A，B が同 一直線上にある場合の数は ミ 通りである。 〔２〕 ３点 A，B，C が立方体 PQRS−TUVW の８個の頂点のいずれかに位置する ときを考える。ただし，各点は同じ頂点に位置する場合もある。３点 A，B， C が同一直線上にある場合の数は ム 同一直線上にある場合の数は 通りであり，同一平面上にない場合の数 は モ メ 通りである。４点 O，A，B，C が 通りである。 〔３〕 ４点 A，B，C，D が立方体 PQRS−TUVW の８個の頂点のいずれかに位置 するときを考える。ただし，各点は同じ頂点に位置する場合もある。４点 A， B，C，D が同一直線上にある場合の数は あって，かつ同一平面上にある場合の数は ヤ ユ 通りであり，異なる頂点に 通りである。 ― ４ ― ! （Mab ）
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