（第２時限：１ ０ ０分） ２ ０ １ ５年度 ! 数 学 （理 問 題 系） （全４ページ） 注 意 事 項 １．試験開始の合図があるまで，この問題冊子の中を見てはいけません。 ２．問題文の にあてはまる適当なものを，解答用紙の所定の欄 に記入しなさい。 ３．解答用紙１枚・下書用紙２枚は，この冊子の中に折り込んであります。 ４．試験終了後，問題冊子・下書用紙は持ち帰りなさい。 ! （Mab ） 数 学 ! "，#，$の設問について問題文の 次の ， にあてはまる適当なものを， 解答用紙の所定の欄に記入しなさい。 " 数列に関して以下の問いに答えよ。 〔１〕 漸化式 an＋１ ＝ a１ ＝７， １ a ＋２ ( n ≧１) ３ n ! a "を考える。定数 q＝ ア とおくと，数列! b "は初項 b ＝ イ ，公比 で定義される数列 n n １ を用いて bn ＝ an − q ウ の等比数列となる。 したがって，その一般項 bn は， bn ＝ エ ! a "の一般項は， となる。よって，数列 n an ＝ オ となる。 〔２〕 漸化式 c１ ＝３， ncn＋１ ＝ ( n ＋１) cn ＋１ ( n ≧１) ! c "を考える。d で定義される数列 列の一般項は カ ! " cn とおくと，数列 dn の階差数 n となる。したがって，数列 dn の一般項は， n n dn ＝ ＝ ! " キ ! c "の一般項は， となるので，数列 n cn ＝ ク となる。 ― １ ― ! （Mab ） " 関数 f( x) ＝ ex ＋２ ex について考える。 〔１〕 関数 f ( x ) の第１次導関数は f′ (x)＝ ケ f″ (x)＝ コ となり，第２次導関数は #% となる。よって，関数 f ( x ) の変曲点は lim f ( x ) ＝ x →∞ ス ， サ ， シ lim f ( x ) ＝ セ x →−∞ $&となる。また， となる。 〔２〕 曲線 y ＝ f ( x ) および３つの直線 x ＝ y＝ ス サ #% t ＞ ，x ＝ t サ $&， で囲まれた図形の面積 S ( t ) は S( t) ＝ ソ となり， lim S ( t ) ＝ t →∞ タ となる。 ― ２ ― ! （Mab ） " 座 標 平 面 に お い て，原 点 O，点 A (５，５)，点 B (１，７) の３点 が あ る。 △OAB の内心，外心，垂心の座標を求める。 〔１〕 △OAB において，辺 OA の長さは であり，辺 OB の長さは チ ツ である。∠BOA の二等分線の方程式は， y＝ ト である。△OAB の面積は テ であり，内接円の半径は #% したがって，△OAB の内心の座標は ニ ， ヌ ナ である。 $&である。 〔２〕 辺 OA の垂直二等分線の方程式は， y＝ # % であり，△OAB の外心の座標は # % 〔３〕 △OAB の垂心の座標は， ヒ ネ ノ ， ， フ ハ $&である。 $&である。 ― ３ ― ! （Mab ） " 自 然 数 n に 対 し て，d ( n ) を n の 正 の 約 数 の 個 数 と す る。た だ し，n の 約 数 は，１と n 自身を含む。 〔１〕 ６ ３を素因数分解すると である。したがって，d (６３) ＝ ヘ なる。６ ３２・５ について同様に考えると d (６ ３２・５) ＝ マ ホ と である。 〔２〕 d ( n ) ＝２ となる自然数 n で １≦ n ≦３５ を満たすものは全部で 個ある。それらのうち，正の約数の総和が３ ０となるものは n ＝ ム ミ であ る。 また，d ( n ) ＝３ となる自然数 n で １≦ n ≦１０００を 満 た す も の は 全 部 で メ n＝ 個ある。それらのうち，正の約数の総和が５７となるものは モ である。 〔３〕 n は １≦ n ≦１ ０ ０ ０ を満たすとする。また，α ，β を自然数とし，p，q を 相異なる素数とする。 （ａ） n ＝ p α と表される場合 d ( n ) の最大値は，n ＝ ヤ のとき， ユ である。 のとき， ラ である。 （ｂ） n ＝ p α・q β と表される場合 d ( n ) の最大値は，n ＝ ヨ ― ４ ― ! （Mab ）
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