(1) f(x) - SUUGAKU.JP

1
a; b; c を定数とし，a > 1 とする．関数 f(x); g(x) を
f(x) = ¡
1 3
x + ax2 + bx + c;
3
g(x) = f0 (x)
と定める．f(x) は x = 1 で極値 ¡1 をとる．
4
¡!
¡! ¡!
t を実数とする．平行四辺形 ABCD において，点 E，F は辺 AD 上にあり，AE = tAD; AF =
¡!
¡! ¡
! ¡! ¡
!
(1 ¡ t)AD を満たすとする．また，AB = b ; AD = d とおく．
¡!
¡!
¡
! ¡
!
(1) ベクトル CE および CF を t; b ; d を用いて表せ．
¡
!
¡
!
¡! ¡!
(2) ÎBAD = 60± かつ j b j = j d j = 1 のとき，内積 CE ¢ CF が最大となる t の値を求めよ．
(1) b と c を a を用いて表せ．
(2) 曲線 y = g(x) と x 軸で囲まれた図形の面積が
4
であるとき，定数 a; b; c の値を求めよ．
3
5
行列に関する以下の問に答えよ．
(1) a; b を実数とする．x; y についての連立 1 次方程式
2
k を正の定数とし，関数 f(x) を f(x) = kx2 ¡ log x と定める．ここで，対数は自然対数で
V
ある．
(1) f(x) の極値を k を用いて表せ．
(a ¡ b)x + (a + 1)y = 0
(¡a + 1)x ¡ (a + b)y = 0
が x = 0; y = 0 以外の解をもつように b の値を求めよ．
(2) f(x) = 0 が相異なる 2 つの解をもつための k に関する必要十分条件を求めよ．ただし，必要
なら lim f(x) = 1 を用いてよい．
x!1
(3) f(x) = 0 は 2 つの解 x1 ; x2 (x1 < x2 ) をもつとする．このとき，
1
I=
x2 ¡ x1
Z
x2
x1
(2) c を実数とし，行列 A を A = '
A'
2
(3kx ¡ log x) dx
数列 fan g を
2
a1 =
;
3
an+1
(n = 1; 2; 3; Ý)
n¡1
P
k=1
y0
¡c
? と定める．座標平面上の点 (x0 ; y0 ) が
? を満たすとき，y0 を x0 を用いて表せ．
a; b を定数とし，a > 0 とする．関数 f(x) を f(x) = x2 ¡ 2ax + b と定める．また，放物線
y = f(x) の頂点は放物線 y =
1
(x ¡ 1)2 上にあるとする．
2
(1) b を a を用いて表せ．
(2) 2 つの放物線 y = f(x); y = ¡x2 + 2x がただ 1 つの共有点をもつとする．このとき，a の値
により定義する．
(1) bn = an+1 ¡ an とおく．
x0
¡c + 1
` 上に移るとき，c の値を求めよ．
6
16
= an + 2n ¡
3
y0
? = ¡'
c+1
(3) 直線 2x + 3y = 0 を ` とする．(2) における行列 A の表す 1 次変換により ` 上のすべての点が
とおくと，I は k の値によらず一定となる．I の値を求めよ．
3
x0
c
bk を n を用いて表せ．
(2) 数列 fan g の一般項を求めよ．
(3) an の値が最小となる n の値と，そのときの an を求めよ．
を求めよ．
(3) (2) の条件のもとで，共有点の x 座標を p とする．このとき，放物線 y = f(x) と直線 x = p，
および x 軸，y 軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
7
関数 f(x) = e¡x sin x について以下の問いに答えよ．ただし，e は自然対数の底とする．
(1) 方程式 f(x) = 0 の x = 0 における解を，小さい方から順に p; q; r とする．このとき，p; q; r
の値をそれぞれ求めよ．
(2) 区間 p 5 x 5 q における関数 f(x) の最大値を h1 とし，区間 q 5 x 5 r における関数 f(x)
h2
の最大値を h2 とする．このとき，
を求めよ．
h1
(3) 区間 p 5 x 5 q において，曲線 y = f(x) と x 軸とで囲まれた図形の面積を S1 とする．また，
区間 q 5 x 5 r において，曲線 y = f(x) と x 軸とで囲まれた図形の面積を S2 とする．このと
S2
h2
き，
=
であることを示せ．
S1
h1
10 座標平面上の点 (x0 ; y0 ) は原点 O とは異なるとする．
(1) 実数 a; b に対して A = '
A='
1 0
0 1
a1 = 1;
a2 = 6;
an+2 = 6an+1 ¡ 9an
(n = 1; 2; 3; Ý)
(1) bn = an+1 ¡ 3an とおくとき，数列 fbn g の一般項を求めよ．
(2) 数列 fan g の一般項を求めよ．
9
¡!
¡!
¡! ¡!
平面上の異なる 3 点 O，A，B について，jOAj = 1; jOBj = 2 かつ OA と OB のなす角は 60±
¡! ¡!
¡!
とする．また，点 P を OP = OB + tOA（ t は実数）と定める．
¡!
(1) 四角形 OAQP が平行四辺形となるように点 Q を定める．このとき，jOQj を t を用いて表せ．
¡!
(2) 直線 OQ と，点 A から直線 OQ に下ろした垂線との交点を H とする．このとき，jAHj を t を
用いて表せ．
¡!
¡!
(3) jAHj が最大となるような t の値を求めよ．また，そのときの jAHj を求めよ．
a
(2) 実数 p; q; r; s に対して B = '
x1
y1
? = B'
き，C を p; q を用いて表せ．
数列 fan g が次の条件を満たすとする．
b
? と定める．このとき，A '
x0
y0
? = '
x0
y0
? ならば
? であることを示せ．
の点 (x1 ; y1 ) を '
8
a ¡b
p ¡q
q
x0
y0
p
?; C = '
r ¡s
s
r
? と定める．また，座標平面上
? と定める．行列 C が C '
x1
y1
?='
x0
y0
? を満たすと

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