1 ≦ x ≦ 3 - SUUGAKU.JP

1
2 次関数 y = 2x2 + 2px ¡ 3p ¡ 4 について以下の問に答えよ．
4
(1) この 2 次関数のグラフの頂点の座標を求めよ．
座標平面上の点 (x; y) が次の方程式を満たす．
2x2 + 4xy + 3y2 + 4x + 5y ¡ 4 = 0
(2) この 2 次関数のグラフの頂点の y 座標が負であるとき，定数 p の値の範囲を求めよ．
(3) (2) において，このグラフと x 軸の 2 つの共有点の x 座標が共に 1 < x < 3 をみたすとき，定
このとき，x のとりうる最大の値を求めよ．
数 p の値の範囲を求めよ．
（東京大学 2012 ）
（北星学園大学 2013 ）
2
a を正の定数とし，x の関数 y = a2 x2 ¡ 2ax ¡ 1 (1 5 x 5 3) ÝÝ1 を考える．1 の最大値
を M，最小値を m とする．
5
次の設問に答えよ．
(1) 放物線 y = x2 + ax + b は 2 点 (¡1; 9); (1; 1) を通る．このとき，定数 a; b の値を求めよ．
(2) (1) の放物線と，放物線 y = ¡x2 + 4 の交点の座標を求めよ．
(1) M; m をそれぞれ a を用いて表せ．
1
であるときの a の値を求めよ．
(2) M ¡ m =
3
（倉敷芸術科学大学 2012 ）
（北里大学 2013 ）
3
2 次関数 f(x) = ¡x2 ¡ 2x + 1，g(x) = ¡2x2 + px + q について，以下の設問に答えよ．た
だし，g(1) = ¡2，g(¡1) = 0 であり，p; q は実数の定数とする．各設問とも，解答とともに
6
点 (a; b) は円周 x2 + y2 = 1 上を動くとする．
(1) t = a + b とおくとき，a + ab + b を t の式で表せ．
(2) a + ab + b の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの t = a + b の値をそれぞれ求めよ．
（弘前大学 2012 ）
導出過程も記述せよ．
(1) p と q の値を求めよ．
7
次の問いに答えよ．
(2) f(x) < g(x) となる x の値の範囲を求めよ．
(1) 実数 x; y について，
(3) h(x) を次のように定義する．
4x2 + 12y2 ¡ 12xy + 4x ¡ 18y + 7
f(x) = g(x) の場合は h(x) = f(x)
f(x) < g(x) の場合は h(x) = g(x)
の最小値，およびそのときの x; y の値を求めよ．
次に，正の実数 k に対して M(k) と m(k) を次のように定義する．
(2) a を負の実数とする．
M(k) は ¡k 5 x 5 k における h(x) の最大値
4x2 + 12y2 ¡ 12xy + 4x ¡ 18y + 7 = a
m(k) は ¡k 5 x 5 k における h(x) の最小値
‘ M(2) と m(2) の値を求めよ．
を満たす x; y が隣り合う整数のとき，a の最大値，およびそのときの x; y の値を求めよ．
’ M(k) と m(k) の値を k を用いて表せ．
（秋田県立大学 2013 ）
（秋田大学 2012 ）
8
11 2 次関数 f(x) = x2 ¡ 4x + 2 について次の問に答えよ．
x の関数
(1) 放物線 y = f(x) の頂点の座標を求めよ．また，この放物線と x 軸との交点の座標を求めよ．
y = x4 + 4x3 + 2(2 ¡ a)x2 ¡ 4ax ¡ 1 (¡4 5 x 5 2)
(2) a を実数とするとき，a 5 x 5 a + 2 における関数 f(x) の最大値，最小値を求めよ．
について次の問いに答えよ．ただし，a は定数とする．
（広島修道大学 2012 ）
(1) t = x2 + 2x (¡4 5 x 5 2) とおくとき，t の値の範囲を求めよ．また，y を t と a を用いて
12 2 次関数 y = f(x) のグラフの頂点は，(¡1; 6) である．また，¡5 5 x 5 1 において最小値は
表せ．
(2) a = 0 のとき，y の値の範囲を求めよ．このとき，y が最小になるような x の値を求めよ．
¡10 となる．f(x) を求めよ．
(3) 0 5 a 5 1 のとき，y の値の範囲を a を用いて表せ．このとき，y が最小になるような x の値
（日本福祉大学 2012 ）
を a を用いて表せ．
（北海学園大学 2012 ）
13 放物線 y = x2 + 2ax + 4a + 12 について，次の問いに答えよ．ただし，a は定数とする．
(1) 放物線の頂点の座標を a で表せ．
9
放物線 y = x2 + 2(1 ¡ a)x ¡ 3a を，x 軸方向に 1，y 軸方向に 7 だけ平行移動して得られる放
物線を C : y = f(x) とする．ただし，a は定数とする．
(2) 放物線と x 軸が接するとき，a の値とその接点の座標を求めよ．
(3) 放物線と x 軸の負の部分が共有点をもつとき，a の値の範囲を求めよ．
（広島工業大学 2012 ）
(1) C の頂点の座標を a を用いて表せ．
(2) C と x 軸の正の部分が異なる 2 点で交わるような a の値の範囲を求めよ．
(3) a の値が上の (2) で求めた範囲にあるとする．このとき，0 5 x 5 5 における関数 f(x) の最大
14 O を原点とする座標平面上に 3 点 A(0; 2)，B(¡1; 0)，C(1; 0) がある．直線 y = a と線分
AB，AC の交点を P，Q とする．ただし，0 < a < 2 とする．
値と最小値をそれぞれ a を用いて表せ．
（北海学園大学 2012 ）
(1) P，Q の座標を a を用いて表せ．
(2) 4OPQ の面積を a を用いて表せ．
(3) 4OPQ の面積の最大値とそのときの a の値を求めよ．
10 正の実数 a に対し，
（広島工業大学 2012 ）
f(x) = ¡x2 + 2ax + a (¡1 5 x 5 1)
15 定義域 ¡2 5 x 5 3 において 2 次関数 f(x) = x2 + ax + 3 を考える．a は定数である．
と定め，f(x) の最大値を M(a) とする．このとき以下の設問に答えよ．
(1) f(3) ¡ f(¡2) = ¡5 であるとき，a の値を求めなさい．
(1) M(a) を求めよ．
(2) L(a) = M(a) ¡
(2) a が (1) で求めた値をとるとき，定義域における f(x) の最大値と最小値，またそのときの x
a3
(a > 0) とする．L(a) の最大値を求めよ．
3
の値を求めなさい．
（中央大学 2012 ）
（広島国際学院大学 2012 ）

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