1 3 xy 平面において,媒介変数 t を用いて 1 + 1; ; x = 2 #t + t 放物線 C : y = x2 上の異なる 2 点 P(t; t2 ), Q(s; s2 ) (s < t) に おけ る接線の 交点を 1 y=t¡ t R(X; Y) とする. (1) X; Y を t; s を用いて表せ. ¼ を満たしながら C 上 (2) 点 P,Q が ÎPRQ = 4 を動くとき,点 R は双曲線上を動くことを示し, と表される曲線を C とする. (1) 曲線 C の方程式を求め,その概形をかけ. (2) 点 (a; 0) を通り曲線 C に接する直線があるよ かつ,その双曲線の方程式を求めよ. うな a の範囲と,そのときの接線の方程式をす ( 筑波大学 2008 ) べて求めよ. ( 筑波大学 2006 ) 2 xy 平面上で,2 次曲線 C : x2 + ay2 + by = 0 4 が直線 L : y = 2x ¡ 1 に点 P で接している.た 1 だし,a Ë ¡ とする. 4 x2 ¡ y2 = 1 を動くとき, 2 点 P(x; y) と点 A(a; 0) との距離の最小値を 点 P(x; y) が双曲線 f(a) とする. (1) a と b の関係式を求めよ. (1) f(a) を a で表せ. (2) C が楕円,放物線,双曲線となるそれぞれの場 (2) f(a) を a の関数とみなすとき,ab 平面上に曲 合に,b の値の範囲を求めよ. 線 b = f(a) の概形をかけ. (3) C が楕円となる場合の接点 P の存在範囲を求め, ( 筑波大学 2009 ) xy 平面上に図示せよ. ( 筑波大学 2007 ) -1- 5 y2 x2 + = a2 b2 1 (a > b > 0) に接しながら動くとする. 7 直線 ` : mx+ny = 1 が,楕円 C : 2 つの双曲線 C : x2 ¡ y2 = 1; H : x2 ¡ y2 = ¡1 を考える.双曲線 H 上の点 P(s; t) に対し て,方程式 sx¡ty = 1 で定まる直線を ` とする. (1) 点 (m; n) の軌跡は楕円になることを示せ. B (2) C の焦点 F1 (¡ a2 ¡ b2 ; 0) と ` との距離を B d1 とし,もう 1 つの焦点 F2 ( a2 ¡ b2 ; 0) と ` (1) 直線 ` は点 P を通らないことを示せ. (2) 直線 ` と双曲線 C は異なる 2 点 Q,R で交わる との距離を d2 とする.このとき d1 d2 = b2 を ことを示し ,4PQR の重心 G の座標を s; t を 示せ. 用いて表せ. ( 筑波大学 2010 ) (3) (2) における 3 点 G,Q,R に対して,4GQR の面積は点 P(s; t) の位置によらず一定である ことを示せ. ( 筑波大学 2012 ) 6 からの距離の和が 4d である点 P の軌跡として定 y2 x2 + = 1 の,直線 y = mx と平 16 9 行な 2 接線を `1 ,`01 とし,`1 ,`01 に直交する C まる楕円 E を考える.点 A,点 B,原点 O から の 2 接線を `2 ,`02 とする. 8 d を正の定数とする.2 点 A(¡d; 0),B(d; 0) 楕円 C : 楕円 E 上の点 P までの距離をそれぞれ AP,BP, (1) `1 ,`01 の方程式を m を用いて表せ. OP と書く.このとき,以下の問いに答えよ. (2) `1 と `01 の距離 d1 および `2 と `02 の距離 d2 を (1) 楕円 E の長軸と短軸の長さを求めよ. それぞれ m を用いて表せ.ただし,平行な 2 直 (2) AP2 + BP2 および AP ¢ BP を,OP と d を用い 線 `,`0 の距離とは,` 上の 1 点と直線 `0 の距 離である. て表せ. (3) (d1 )2 + (d2 )2 は m によらず一定であることを (3) 点 P が楕円 E 全体を動くとき,AP3 + BP3 の 示せ. 最大値と最小値を d を用いて表せ. ( 筑波大学 2011 ) (4) `1 ,`01 ,`2 ,`02 で囲まれる長方形の面積 S を d1 を用いて表せ.さらに m が変化するとき,S の 最大値を求めよ. ( 筑波大学 2013 ) -2- 9 10 ® を実数でない複素数とし ,¯ を正の実数とす xy 平面上に楕円 y2 x2 C1 : 2 + =1 9 a る.以下の問いに答えよ.ただし,複素数 w に (a > B 13) 対してその共役複素数を w で表す. (1) 複素数平面上で,関係式 ®z + ®z = z および双曲線 2 を満 たす複素数 z の描く図形を C とする.このとき, y2 C2 : ¡ 2 =1 4 b x2 (b > 0) C は原点を通る円であることを示せ. (2) 複素数平面上で,(z ¡ ®)(¯ ¡ ®) が純虚数とな があり,C1 と C2 は同一の焦点をもつとする.ま る複素数 z の描く図形を L とする.L は (1) で た C1 と C2 の交点 F P %2 1+ t2 ; t= b2 定めた C と 2 つの共有点をもつことを示せ.ま た,その 2 点を P,Q とするとき,線分 PQ の長 (t > 0) さを ® と ® を用いて表せ. における C1 ,C2 の接線をそれぞれ `1 ,`2 とする. (3) ¯ の表す複素数平面上の点を R とする.(2) で 定めた点 P,Q と点 R を頂点とする三角形が正 (1) a と b の間に成り立つ関係式を求め,点 P の座 三角形であるとき,¯ を ® と ® を用いて表せ. 標を a を用いて表せ. (2) `1 と `2 が直交することを示せ. p (3) a が a > 13 を満たしながら動くときの点 P の ( 筑波大学 2015 ) 軌跡を図示せよ. ( 筑波大学 2014 ) -3-
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