x = 2#t + 1 t + 1

1
3
xy 平面において，媒介変数 t を用いて
1
+ 1; ;
x = 2 #t +
t
放物線 C : y = x2 上の異なる 2 点 P(t; t2 )，
Q(s; s2 ) (s < t) における接線の交点を
1
y=t¡
t
R(X; Y) とする．
(1) X; Y を t; s を用いて表せ．
¼
を満たしながら C 上
(2) 点 P，Q が ÎPRQ =
4
を動くとき，点 R は双曲線上を動くことを示し，
と表される曲線を C とする．
(1) 曲線 C の方程式を求め，その概形をかけ．
(2) 点 (a; 0) を通り曲線 C に接する直線があるよ
かつ，その双曲線の方程式を求めよ．
うな a の範囲と，そのときの接線の方程式をす
（筑波大学 2008 ）
べて求めよ．
（筑波大学 2006 ）
2
xy 平面上で，2 次曲線 C : x2 + ay2 + by = 0
4
が直線 L : y = 2x ¡ 1 に点 P で接している．た
1
だし，a Ë ¡
とする．
4
x2
¡ y2 = 1 を動くとき，
2
点 P(x; y) と点 A(a; 0) との距離の最小値を
点 P(x; y) が双曲線
f(a) とする．
(1) a と b の関係式を求めよ．
(1) f(a) を a で表せ．
(2) C が楕円，放物線，双曲線となるそれぞれの場
(2) f(a) を a の関数とみなすとき，ab 平面上に曲
合に，b の値の範囲を求めよ．
線 b = f(a) の概形をかけ．
(3) C が楕円となる場合の接点 P の存在範囲を求め，
（筑波大学 2009 ）
xy 平面上に図示せよ．
（筑波大学 2007 ）
-1-
5
y2
x2
+
=
a2
b2
1 (a > b > 0) に接しながら動くとする．
7
直線 ` : mx+ny = 1 が，楕円 C :
2 つの双曲線 C : x2 ¡ y2 = 1; H : x2 ¡ y2 =
¡1 を考える．双曲線 H 上の点 P(s; t) に対し
て，方程式 sx¡ty = 1 で定まる直線を ` とする．
(1) 点 (m; n) の軌跡は楕円になることを示せ．
B
(2) C の焦点 F1 (¡ a2 ¡ b2 ; 0) と ` との距離を
B
d1 とし，もう 1 つの焦点 F2 ( a2 ¡ b2 ; 0) と `
(1) 直線 ` は点 P を通らないことを示せ．
(2) 直線 ` と双曲線 C は異なる 2 点 Q，R で交わる
との距離を d2 とする．このとき d1 d2 = b2 を
ことを示し，4PQR の重心 G の座標を s; t を
示せ．
用いて表せ．
（筑波大学 2010 ）
(3) (2) における 3 点 G，Q，R に対して，4GQR
の面積は点 P(s; t) の位置によらず一定である
ことを示せ．
（筑波大学 2012 ）
6
からの距離の和が 4d である点 P の軌跡として定
y2
x2
+
= 1 の，直線 y = mx と平
16
9
行な 2 接線を `1 ，`01 とし，`1 ，`01 に直交する C
まる楕円 E を考える．点 A，点 B，原点 O から
の 2 接線を `2 ，`02 とする．
8
d を正の定数とする．2 点 A(¡d; 0)，B(d; 0)
楕円 C :
楕円 E 上の点 P までの距離をそれぞれ AP，BP，
(1) `1 ，`01 の方程式を m を用いて表せ．
OP と書く．このとき，以下の問いに答えよ．
(2) `1 と `01 の距離 d1 および `2 と `02 の距離 d2 を
(1) 楕円 E の長軸と短軸の長さを求めよ．
それぞれ m を用いて表せ．ただし，平行な 2 直
(2) AP2 + BP2 および AP ¢ BP を，OP と d を用い
線 `，`0 の距離とは，` 上の 1 点と直線 `0 の距
離である．
て表せ．
(3) (d1 )2 + (d2 )2 は m によらず一定であることを
(3) 点 P が楕円 E 全体を動くとき，AP3 + BP3 の
示せ．
最大値と最小値を d を用いて表せ．
（筑波大学 2011 ）
(4) `1 ，`01 ，`2 ，`02 で囲まれる長方形の面積 S を d1
を用いて表せ．さらに m が変化するとき，S の
最大値を求めよ．
（筑波大学 2013 ）
-2-
9
10 ® を実数でない複素数とし，¯ を正の実数とす
xy 平面上に楕円
y2
x2
C1 : 2 +
=1
9
a
る．以下の問いに答えよ．ただし，複素数 w に
(a >
B
13)
対してその共役複素数を w で表す．
(1) 複素数平面上で，関係式 ®z + ®z = z
および双曲線
2
を満
たす複素数 z の描く図形を C とする．このとき，
y2
C2 :
¡ 2 =1
4
b
x2
(b > 0)
C は原点を通る円であることを示せ．
(2) 複素数平面上で，(z ¡ ®)(¯ ¡ ®) が純虚数とな
があり，C1 と C2 は同一の焦点をもつとする．ま
る複素数 z の描く図形を L とする．L は (1) で
た C1 と C2 の交点
F
P %2
1+
t2
; t=
b2
定めた C と 2 つの共有点をもつことを示せ．ま
た，その 2 点を P，Q とするとき，線分 PQ の長
(t > 0)
さを ® と ® を用いて表せ．
における C1 ，C2 の接線をそれぞれ `1 ，`2 とする．
(3) ¯ の表す複素数平面上の点を R とする．(2) で
定めた点 P，Q と点 R を頂点とする三角形が正
(1) a と b の間に成り立つ関係式を求め，点 P の座
三角形であるとき，¯ を ® と ® を用いて表せ．
標を a を用いて表せ．
(2) `1 と `2 が直交することを示せ．
p
(3) a が a > 13 を満たしながら動くときの点 P の
（筑波大学 2015 ）
軌跡を図示せよ．
（筑波大学 2014 ）
-3-

Download Report