システム制御工学Ⅰ 電気電子工学科 2014年度今日の講義内容 • 自動化 • システム – 因果性，時不変性，線形性 – ブロック線図 • 開ループ制御と閉ループ制御 • フィードバック制御系 – フィードバック制御系の構成 – ブロック線図の簡単化 – フィードバックの効果 – フィード縛制御系の性能 2 自動化の夢機械を自動で動かす⇒古代からの人間の夢アレクサンドリアのヘロン（紀元前後頃）ヘロンの蒸気機関（画像の出典はWikipedia） 3 オートメーションとロボット現代の産業は自動機械抜きには考えられないロボットの名付け親：カレル・チャペク (1890-1938) 産業用ロボットとオートメーション二束歩行ロボットロボットは産業用から人間型へ展開（画像の出典はWikipedia） 4 自動制御理論 • 古典制御理論 – 伝達関数に基づく解析・設計 – 主として1入力1出力の制御 • 現代制御理論 – 状態空間モデルに基づく解析・設計 – 多入力多出力の制御 • ポスト現代制御理論 – ロバスト（頑健）制御，適応制御，非線形制御など現代制御理論の拡張 5 システム • 複数の要素が相互作用で結ばれる • システムの外側が環境 • システムと環境の境目は相対的 • システムの一部をサブシステムとみることもできる 6 因果的な線形時不変システム • 因果性 𝑥 𝑡 = 0, 𝑡 < 0 𝑦 𝑡 = 0, (𝑡 < 0) 原因より先に結果は生じない • 時不変性 𝑥 𝑡−𝜏 𝑦(𝑡 − 𝜏) 入力信号の時間をずらすと出力信号も同じようにずれる • 線形性 𝑎𝑥1 𝑡 + 𝑏𝑥2 𝑡 𝑎𝑦1 𝑡 + 𝑏𝑦2 (𝑡) 入力を定数倍すると出力も定数倍になる．また，重ね合わせが成り立つ． 7 ブロック線図入力に対して変化を与えるもの入力中を流れているのは “信号や情報” システムまたは要素倍率を変える時間遅れを持たせるなどなど・・・出力（応答）中を流れているのは “信号や情報” システムまたは要素を箱（ブロック）で表し，信号・情報の流れを矢印で表す．通常は，左に入力，右に出力を描く 8 ブロック線図の構成要素基本単位説明図矢印が付いた線分信号の流れる方向を表すブロックシステム内の要素（サブシステム）を表す．要素の伝達関数を 𝐺(𝑠)，入力信号のラプラス変換を 𝐴(𝑠) とすると，その出力は 𝐺 𝑠 𝐴(𝑠) となる．加え合わせ点２つの信号の和，又は，差を生成引き出し点信号の分岐を表す．分岐により信号の値は変化しないことに注意．入力 𝐴(𝑠) 𝐺(𝑠) 𝐴(𝑠) + ± 𝐴(𝑠) （注）伝達関数とラプラス変換については後で詳しく説明する出力 𝐵 𝑠 = 𝐺 𝑠 𝐴(𝑠) 𝐴(𝑠) ± 𝐵(𝑠) 𝐵(𝑠) 𝐴(𝑠) 𝐴(𝑠) 9 開ループ制御と閉ループ制御 • 開ループ制御（フィードフォワード制御） – 結果（出力）が目標の値となるように原因（入力）を与える • 閉ループ制御（フィードバック制御） – 結果（出力）を原因（入力）に戻し，出力がずれたら自動的に目標に戻るようにする原因制御系開ループ制御結果原因制御系結果閉ループ制御 10 フィードバック制御系（１）外乱目標値調節部操作部制御対象制御量検出部コントローラ • フィードバック制御系のハードウェア構成 – – – – – 制御対象（プラント）制御量：制御しようとする量目標値：希望する制御量制御装置（コントローラ）制御対象には外乱 d が加わるのが普通 11 フィードバック制御系（２）制御動作信号基準入力信号目標値 v 基準入力要素 r + 外乱 d e - 操作量制御要素制御対象 m b 制御量 c フィードバック要素 • フィードバック制御系の一般的表現 – 目標値 v を基準入力信号 r に変換 – r とフィードバック信号 b との偏差（制御動作信号） e=r-b に応じて操作量 m を求めて，制御対象に入力 12 ブロック線図の等価変換（１）操作引き出し点の交換変換前変換後 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 加え合わせ点の交換引き出し点とブロックの交換 𝐴 𝐴±𝐵 𝐴±𝐵±𝐶 + + ± ± 𝐵 𝐶 𝐴 𝐵 𝐺 𝐴 𝐴 𝐴±𝐶 𝐴±𝐶±𝐵 + + ± ± 𝐶 𝐵 𝐴 𝐵 加え合わせ点とブロックの交換 𝐴 𝐶 + 𝐺 ± 𝐵 𝐴 𝐶 𝐺 𝐺 𝐺 𝐵 𝐺 𝐵 + 𝐵 ± 13 ブロック線図の等価変換（２）操作変換前 𝐴 引き出し点の移動変換後 𝐵 𝐺 𝐴 𝐵 𝐺 𝐶 加え合わせ点の移動 𝐴 𝐺 𝐵 ブロックの交換 𝐴 𝐺1 + ± 𝐺2 1/𝐺 𝐶 𝐴 + 𝐶 𝐵 1/𝐺 𝐴 𝐺2 𝐺 𝐶 𝐵 ± 𝐺1 𝐵 14 ブロック線図の等価変換（３）操作変換前ブロックの縦続結合 𝐴 ブロックの並列結合 𝐴 𝐺1 𝐺1 + 𝐺 ± 𝐵 𝐺2 𝐺2 ブロックのフィードバック 𝑈 + 結合変換後 𝐻 𝐴 𝐵 𝐴 ± 𝑋 𝑈 𝐺2 𝐺1 𝐵 𝐺1 ± 𝐺2 𝐵 𝐺 1 ∓ 𝐺𝐻 𝑋 15 ブロック線図の等価変換（３）通常，代表的なフィードバック制御システムは右図のようになる．このとき，基準入力から出力までの伝達関数，基準入力 𝑈 𝐺 1 ∓ 𝐺𝐻 𝑈 + 𝐸 ± 𝐺 𝑋 𝐻 この機能を１つにまとめると・・・ 𝑋 出力を閉ループ伝達関数，偏差から偏差までの伝達関数 GH を開ループ伝達関数と呼ぶ．閉ループ伝達関数の導出：偏差を E と置くと 𝑋 = 𝐺𝐸, 𝐸 = 𝑈 − 𝐻𝑋 E を消去すると 𝐺 𝑋= 𝑈 16 1 + 𝐺𝐻 問 • G=1000, H=0.1 とすると，フィードバック後の伝達要素（閉ループ伝達関数） A はいくらになるか？ 17 ブロック線図の簡単化（１）こんなものも，単純なブロック図に変換することができる． 𝑈(𝑠) + − 𝑈(𝑠) 𝐺1 (𝑠) − + 𝐺2 (𝑠) ??? 𝑌(𝑠) 𝐺3 (𝑠) 𝑌(𝑠) さて，四角の中にはどのような要素が入っているだろうか・・・ 18 ブロック線図の簡単化（２）式で考える場合 𝑈(𝑠) + 𝑋 − 𝐺1 (𝑠) − + 𝑍 𝐺2 (𝑠) 𝐺3 (𝑠) 𝑌(𝑠) ブロック線図の各箇所の信号に名前を付ける（この例では，𝑋 と 𝑍 ）．次に，これらの信号を式で記述する． 𝑋 = 𝑈 𝑠 − 𝐺2 𝑠 𝑍, 𝑍 = 𝐺1 𝑠 𝑋 − 𝑌(𝑠), 𝑌 𝑠 = 𝐺2 (𝑠)𝐺3 (𝑠)𝑍 これらの式から，𝑋 及び 𝑍 を消去し， Y(s) / U(s) を求めれば， 𝑈(𝑠) 𝐺1 (𝑠)𝐺2 (𝑠)𝐺3 (𝑠) 1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 + 𝐺2 (𝑠)𝐺3 (𝑠) 𝑌(𝑠) 19 ブロック線図の簡単化（３）ブロック線図の等価変換を用いる方法 𝑈(𝑠) + − 𝐺1 (𝑠) − + 𝐺2 (𝑠) 𝐺3 (𝑠) フィードバックが入れ子になっている 𝑌(𝑠) 𝐺3 (𝑠) 𝑈(𝑠) + − 𝑈(𝑠) + − 𝐺1 (𝑠) 𝐺1 (𝑠) − + 𝐺2 (𝑠) 𝐺2 (𝑠) 1 + 𝐺2 (𝑠)𝐺3 (𝑠) 𝐺3 (𝑠) 𝐺3 (𝑠) 𝑌(𝑠) 𝑌(𝑠) 引き出し点の変更フィードバック結合 20 ブロック線図の簡単化（４）縦続接続 𝑈(𝑠) + 𝑈(𝑠) − 𝐺1 (𝑠)𝐺2 (𝑠) 1 + 𝐺2 (𝑠)𝐺3 (𝑠) 𝐺1 (𝑠)𝐺2 (𝑠) 1 + 𝐺1 (𝑠)𝐺2 (𝑠) + 𝐺2 (𝑠)𝐺3 (𝑠) 𝑈(𝑠) 𝐺1 𝑠 𝐺2 (𝑠)𝐺3 (𝑠) 1 + 𝐺1 (𝑠)𝐺2 (𝑠) + 𝐺2 (𝑠)𝐺3 (𝑠) 𝐺3 (𝑠) 𝐺3 (𝑠) 𝑌(𝑠) 𝑌(𝑠) 𝑌(𝑠) フィードバック結合縦続接続 21 問以下のブロック線図を簡単化せよ．  R(s) 入力 Y (s) K1  出力 K Ts  1 R(s)  入力  K1 s   K2   K3 s Y (s) K4 出力 22 フィードバックの効果（１）伝達要素 G にフィードバック要素 H でフィードバックをかけると，閉ループの伝達要素は 𝐺 𝐴= 1 + 𝐺𝐻 G が ΔG だけ変化したとすると 𝐺 + ∆𝐺 𝐺 ∆𝐴 = − 1 + 𝐺 + ∆𝐺 𝐻 1 + 𝐺𝐻 ∆𝐺 𝐺 = 𝐺 1 + 𝐺 + ∆𝐺 𝐻 1 + 𝐺𝐻 23 フィードバックの効果（２） ∆𝐺 𝐺 フィードバック無しの変化率 𝛿 = フィードバック後の変化率 ∆𝐴 ∆𝐺 ′ 𝛿 = = 𝐴 𝐺 1 + 𝐺 + ∆𝐺 𝐻 ∆𝐺 1 1 = =𝛿 𝐺 1 + 𝐺 + ∆𝐺 𝐻 1 + 𝐺 + ∆𝐺 𝐻 GH が1より十分大きければ 𝛿 ′ < 𝛿 ，つまり伝達要素の変化率は減少するフィードバックは，伝達要素の変化の影響を軽減する 24 問 • G=1000，H=0.1，ΔG=100 とする．フィードバック無しの場合の伝達要素の変化率 δ とフィードバック後の変化率 δ’ を求めよ． 25 フィードバックの効果（３）フィードバック要素 H が ΔH だけ変化した場合を同様に計算すると ∆𝐴 ∆𝐻 𝐺𝐻 ∆𝐻 ′ 𝛿 = =− ≅− 𝐴 𝐻 1 + 𝐺 𝐻 + ∆𝐻 𝐻 つまりフィードバック要素の変化はそのまま伝達要素の変化となって現れる．フィードバックは，フィードバック要素の変化の影響を軽減できない ⇒ フィードバック要素には安定な素子を用いる必要がある 26 フィードバックの効果（４） • 外乱 d が偏差 e の位置に加わる場合 𝑦 =𝐺 𝑒+𝑑 , 𝑒 = 𝑥 − 𝐻𝑦 𝐺 𝐺 ∴𝑦= 𝑥+ 𝑑 1 + 𝐺𝐻 1 + 𝐺𝐻 外乱は入力と同様に増幅される • 外乱 d が出力 y の位置に加わる場合 𝑦 = 𝐺𝑒 + 𝑑, 𝑒 = 𝑥 − 𝐻𝑦 𝐺 1 ∴𝑦= 𝑥+ 𝑑 1 + 𝐺𝐻 1 + 𝐺𝐻 外乱の影響は 1/G に減少する 27 r(t) c(t) フィードバック制御系の性能応答は速いが振動の減衰が遅い制御系 c(t) t そこそこ応答が速く，振動の減衰もそれなり t c(t) 良い制御系 • 定常偏差が無い • 応答が速い（速応性） • 振動の減衰が速い（減衰性，安定性） t t 応答が遅く，定常状態でも目標に達しない（定常偏差が残る） 28 練習問題以下のブロック線図を単一の伝達要素に書き換えよ． G1 x + − G2 + + − G3 G4 y H1 H2 29