状態変数 Ⅱ 状態空間法 入力 u(t) • 状態変数，状態方程式 • 可制御性，可観測性 状態変数 • 安定性 システムへの入力がわかっているとして， • 状態フィードバック システムの挙動を完全に知るために必要な • オブザーバ（状態観測器） 最小限度の個数の変数 システム方程式 入力 u （r個） システム 出力 y(t) 集中定数システム 状態変数 x （n次） 線形システム 出力 y （m個） 平衡点（ 状態方程式 出力方程式 で ）の近傍で線形化 システム方程式 状態変数ベクトル 入力ベクトル 出力ベクトル 例 機械系 定係数線形システム （線形時不変システム） 運動方程式 初期値問題の解 状態変数 入出力 状態方程式 ここで 行列指数関数 インパルス応答関数 1 例 流体系 例 電気系 方程式 回路方程式 qi 平衡状態（ ）からの 微小変動を考えて，線形化 状態変数 v L A h qo ei 状態変数 C R i eo 入出力 入出力 状態方程式 平衡状態で線形化した状態方程式 伝達関数行列 可制御性，可観測性 可制御 とする ここで 伝達関数行列 入力を適当に操作することにより，任意の初期状態から 原点に有限時間で移動させることができる 可制御行列 可観測 入力は既知とし，出力を時刻0から有限時間観測すること により，システムの状態の初期値を一意に知ることができる G(s)の第i行j列の要素は， j番目の入力に対する i番目の出力の伝達関数 可観測行列 最小実現 伝達関数が与えられた時，最小次元のシステム方程式を求める SISO系 可制御 標準形 可観測 標準形 安定性 原点（平衡点）の安定性 安定 任意の に対し， 全ての で うな が存在する 漸近安定 安定，かつ 不安定 ならば， 漸近安定 が成り立つよ のとき 不安定 どんな小さな を選んでも １つでも存在する が漸近安定 0 安定 となる解が 全てのAの固有値の実部は負 2 Lyapunov の定理 状態フィードバック 安定 （原点近傍） (1) 正定値関数 が存在 (2) 全ての x に対して は準負定値 制御対象 制御対象（可制御） u V(x) 漸近安定 （原点近傍） (1) 正定値関数 が存在 (2) 原点を除いて は負定値 0 x 漸近安定 の概念図 大域的漸近安定 全ての x に対して上の漸近安定の条件が成り立ち，かつ (3) のとき, x y C 状態フィードバック 制御対象が可制御であれば， フィードバックゲイン行列 F を適当に選ぶことにより， 閉ループ系の固有値（極）を 任意の値に指定できる → 極配置 閉ループ系 最適レギュレータ －F 同一次元オブザーバ 制御対象（可制御） 観測対象 観測対象（可観測） u 評価関数 y ：正定対称行列 同一次元オブザーバ B Ce J を最小にする状態フィードバック + － G C 誤差 ただし，P は次の Riccati 方程式の正定対称解 オブザーバ 対象と同じモデル，出力差をフィードバック 最小次元オブザーバ 分離定理 制御対象 観測対象 観測対象（可観測） u オブザーバ 最小次元オブザーバ u 制御対象 y オブザーバ K G L2 L1 誤差 オブザーバを用いた状態フィードバック y 状態フィードバック ++ オブザーバ 出力を状態変数の一部とみなす (n－m) 次元のオブザーバ 閉ループ系 －F 閉ループ系の極は， 状態フィードバックによる極 と オブザーバの極 3
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