基礎制御工学・制御システム序論中間試験問題解答単純な計算間違い，式変形の間違いなどの軽微な間違いで，それ以外は正しく計算している場合には，おおむね 1 つにつき 3 点減点。 1. 次のフィードバック制御系の空欄 (1),(2) に当てはまる適切な用語を下の (ア)∼(カ) の選択肢から選べ． (ア) 制御装置 (イ) 制御対象 (ウ) 目標対象 (エ) 制御量 (オ) 操作量【解答】配点は各 5 点．計 10 点 (1) （イ）制御対象 (2) (エ) 制御量 2. 次のブロック線図で表されるシステムの出力 Y を X, G1 , G2 , H を用いて表せ．【解答】配点は 15 点まず，内側のフィードバックループを置換する．直列要素をまとめる．最後に外側のフィードバックループを置換する． (カ) 定常偏差従って Y = G1 G2 X 1 + G1 H + G1 G2 あるいは，適当な中間の信号を仮に変数を定める．例えば，G1 の要素の出力を Z とすると，以下のようにそれぞれの信号を表すことができる．これより Z = G1 (X − Y − HZ) (1) Y = G2 Z (2) (1) 式より Z= G1 (X − Y ) 1 + G1 H (2) 式に代入して整理する． G1 G2 G1 G2 G1 G2 (X − Y ) = X− Y Y = 1 + G1 H 1 + G1 H 1 + G1 H ( ) G1 G2 G1 G2 1+ Y = X 1 + G1 H 1 + G1 H G1 G2 Y = X 1 + G1 H + G1 G2 3. 次の微分方程式の初期値問題の解をラプラス変換を用いて求めよ．  2 dx(t) d x(t)     dt2 + 5 dt + 4x(t) = 0  dx(t)   x(0) = 1, =2  dt t=0 【解答】配点は 15 点両辺をラプラス変換する． ) ( dx(t) 2 s X(s) − sx(0) − + 5 (sX(s) − x(0)) + 4X(s) dt t=0 ( ) = s2 X(s) − s − 2 + 5 (sX(s) − 1) + 4X(s) ( ) = s2 + 5s + 4 X(s) − s − 2 − 5 ( ) = s2 + 5s + 4 X(s) − s − 7 = 0 整理して部分分数展開する． s+7 s+7 = s2 + 5s + 4 (s + 1)(s + 4) B A + = s+1 s+4 X(s) = 2 定理を使うと s + 7 A = (s + 1)X(s)|s=−1 = =2 s + 4 s=−1 s + 7 3 B = (s + 4)Y (s)|s=−4 = = = −1 s+1 −3 s=−4 通分して求めると A(s + 4) + B(s + 1) (s + 1)(s + 4) (A + B)s + 4A + B = (s + 1)(s + 4) Y (s) = 係数を比較すると { A+B =1 4A + B = 7 連立方程式を解くと A = 2, B = −1,． X(s) = 2 1 − s+1 s+4 逆ラプラス変換をすると， x(t) = 2e−t − e−4t 4. ある線形システムのインパルス応答（x(t) = δ(t) (単位インパルス関数) が入力されたときの出力）が y(t) = 4te−2t であった．以下の問いに答えよ． (1) この線形システムの伝達関数 G(s) を求めよ．ただし，伝達関数は多項式の比の形 ) ( m b0 s + b1 sm−1 + · · · + bm−1 s + bm で答えよ． a0 sn + a1 sn−1 + · · · + an−1 s + an 【解答】配点は 10 点．解答の形式が違っている場合は 1 点減点伝達関数はインパルス応答をラプラス変換したものと等しいので，y(t) をラプラス変換する．ラプラス変換表の (7) を用いると， G(s) = L−1 [y(t)] = L−1 [4te−2t ] 4 4 = = 2 2 (s + 2) s + 4s + 4 (2) この線形システムのステップ応答（x(t) = u(t) (単位ステップ関数) が入力された時の出力 y(t)）を答えよ．【解答】配点は 15 点ステップ入力のラプラス変換は X(s) = Y (s) = G(s)X(s) = 1 s であるからステップ応答のラプラス変換 Y (s) は 4 s(s + 2)2 3 これを逆ラプラス変換してステップ応答を求める．まず，部分分数展開をする． Y (s) = 4 A B C = + + s(s + 2)2 s s + 2 (s + 2)2 とすると，A = 1, B = −1, C = −2 と求められるので， Y (s) = 1 1 2 − − s s + 2 (s + 2)2 逆ラプラス変換をすると， y(t) = 1 − e−2t − 2te−2t 5. 次のブロック線図で表されるフィードバック制御系について答えよ．ブロック線図の各要素の式はその要素の伝達関数を表す． (1) このフィードバック制御系の開ループ伝達関数 Go (s) と閉ループ伝達関数 Gc (s) を答えよ．ただし，伝 ( m ) b0 s + b1 sm−1 + · · · + bm−1 s + bm 達関数は多項式の比の形で答えよ． a0 sn + a1 sn−1 + · · · + an−1 s + an 【解答】配点はそれぞれの伝達関数で 10 点づつ．解答の形式が違っている場合は 1 点減点前向き要素を G(s)，フィードバック要素を H(s) とすると Go (s) = G(s)H(s) = Gc (s) = 1 3 3 · = 2 s+2 s+6 s + 8s + 12 G(s) = 1 + G(s)H(s) 1+ 1 s+2 3 (s+2)(s+6) s+6 (s + 2)(s + 6) + 3 s+6 = 2 s + 8s + 15 = (2) このフィードバック制御系のインパルス応答 y(t) を求めよ．【解答】配点は 15 点インパルス応答は閉ループ伝達関数の逆ラプラス変換に等しいから，閉ループ伝達関数を部分分数展開する． Y (s) = Gc (s) = s2 s+6 + 8s + 15 s+6 (s + 3)(s + 5) B A + = s+3 s+5 = 4 定理を使うと A = (s + 3)Y (s)|s=−3 B = (s + 5)Y (s)|s=−5 s + 6 3 = = s + 5 s=−3 2 s + 6 1 1 = = =− s + 3 s=−5 −2 2 通分して求めると A(s + 5) + B(s + 3) (s + 3)(s + 5) (A + B)s + 5A + 3B = (s + 3)(s + 5) Y (s) = 係数を比較すると { A+B =1 5A + 3B = 6 連立方程式を解くと A = Y (s) = 3 1 , B = − ,．従って 2 2 3 1 1 1 · − · 2 s+3 2 s+5 ラプラス変換すると， y(t) = 3 −3t 1 −5t e − e 2 2 5