制御システム設計第12回

制御システム設計第１２回
～ゲイン余裕と位相余裕～
東京都市大学工学部
機械システム工学科
野中謙一郎
http://www.cl.mse.tcu.ac.jp/lab/edu/dcs/
ゲイン余裕GMと位相余裕PMはフィードバック系の安定性の余裕を表す
第12回
制御システム設計
1
前回課題ステップ応答との関係（解答）
下記のフィードバック制御系と制御対象
について，P制御のゲインを変化させた場合の
点 1,0 付近のベクトル軌跡を描き，安定なの範囲を求めなさい．
さらに，幾つかのに対してステップ応答を描き，収束・安定限界・発散を確認しなさい．
ナイキストの安定判別法は，周波数入力に限らずフィードバック制御系の安定性を判別できる．
一巡伝達関数
制御器
誤差
目標値
操作量
制御対象
制御対象
制御量
1
1
2
フィードバック制御系
8
1
12
12
発散
6
Im
0
6
4
持続振動
収束
-2
3
-2
3
-1
2
0
Re
不安定
安定
限界
安定
6
-3
-4
-6
0
2
4
6
8
10
課題のステップ応答のグラフ
第12回
制御システム設計
-4
-4
-3
課題の
-2
-1
0
1
のベクトル軌跡
2
ナイキストの安定判別法（p.119
ナイキストの安定判別法
一巡伝達関数
のベクトル軌跡から閉ループ伝達関数
が安定）
の安定性を判別
1
ナイキストの安定判別法（
が安定な場合）
一巡伝達関数（開ループ伝達関数）
のベクトル軌跡が
点 1,0 を常に左に見るように動くなら安定で，
右に見るように動くならば不安定
Im
0.5
不安定
0
Re
1
200.0
40.0
-0.5
150.0
12
30.0
100.0
0.0
-1
-50.0
20.0
-100.0
12
-150.0
10.0
-200.0
-10.0
200
400
600
800
1000
-1.5
7.95の応答
十分時間経過後に
一定振幅に収束
一定振幅
に収束
0.0
0
-2
4
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
600.0
/
1 のベクトル軌跡の拡大図
4は 1,0 を常に左に見るので安定
8は 1,0 を通るので安定限界
12は 1,0 を常に右に見るので不安定
400.0
200.0
-30.0
0.0
4
-40.0
-50.0
8
-2
-2.5
800.0
-20.0
安定
安定
限界
50.0
0
5
8
10
-200.0
振幅→∞で
発散
15
20
-400.0
-600.0
-800.0
0
200
400
600
800
1000
8では直線的に
制御システム設計
振幅が増加
第12回
3
安定余裕
フィードバック制御系の制御対象
が変化する場合に，安定性が保たれるために
や位相∠
に許される変化の余裕
ゲイン
目標値
制御器
誤差
操作量
制御対象
制御量
フィードバック制御系
1.5
0.5
Im
9
8
Re
sin
3
1.0
4
0.5
2
1
0
0.0
-0.5
-0.5
1
7
-1.0
-1.5
-1
4
-1.5
-1.5
-1
-0.5
2
0
0.5
/
1 のベクトル軌跡
7は安定限界に近く，安定余裕が小さい．
ベクトル軌跡が負の実軸と交わる点
1
ベクトル軌跡の距離が1になる点の偏角
180°
第12回
50
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
0
5
10
15
20
25
30
35
40
9は振幅が加速して増加
7は
一定振幅に
収束する
8は振幅が一定速度で増加
0
制御システム設計
5
10
15
20
25
30
のステップ応答のグラフ
35
40
4
6.3 ゲイン余裕・位相余裕（p.122）
ゲイン交差角周波数
(gain crossover frequency)
1となる点Gにおけるで，この時の位相∠
が，
∠
180°なら安定， ∠
180°なら不安定
Im
1.0
1
GM
0.5
位相交差角周波数
(phase crossover frequency)
∠
180°となる点Pにおけるで，この時のゲイン
1なら安定，
1なら不安定
が，
1
0.0
PM
0.4
0.5より
0.2
1
P
Re
計算
2.0
GM
0.0
0.5
O
0.5
1.0
G 0.94, 0.34 より -0.2 PM
0.34
-0.4
G 0.94, 0.34
PM tan
0.94
計算
-0.6
-1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4
20°
-1.5
-1.0
GMとPMの計算例
3/ 制御システム設計
1
2
第12回
-0.5
0.0
0.5
1.0
安定な場合のPとG
Im
G
P
0.0
Re
が増加
0.5
Im
OP
∞
O
G
-0.5
ゲイン余裕 GM (gain margin)
∠
180°となる点Pにおけるゲイン
OPについて，-1.0
OP GM 1
-1.5
すなわち， OPが何倍されたら不安定になるかを表す値で
-2.0
1
-2.0
GM
OP
位相余裕 PM (phase margin)
1となる点Gにおける位相∠
が 180°まで
1.0
何度の余裕があるかを表す．
P
Re
∞
1
O
-0.5
-1.0
-1.5
-2.0
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
不安定な場合のPとG
5
演習ゲイン余裕・位相余裕の計算
下記のフィードバック制御系と制御対象
について，P制御のゲインが
2と
場合の点 1,0 付近のベクトル軌跡を描き，ゲイン余裕と位相余裕を求めなさい．
4の
一巡伝達関数
誤差
目標値
制御器
操作量
制御対象
制御対象
制御量
1
1
2
フィードバック制御系
Im
0.5
Re
D
0
B
C
-0.5
A
A(‐0.842252,‐0.539084)
B(‐0.333333,0)
C(‐0.980074,‐0.198374)
D(‐0.666667,0)
2
計算ゲイン余裕GM
.
-1
2
4
-1.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
位相余裕PM tan
4
ゲイン余裕GM
.
.
tan
.
.
.
位相余裕PM
第12回
3.00
制御システム設計
32.6°
1.50
11.4°
6
課題ゲイン余裕・位相余裕の確認
フィードバック制御系の制御対象
が変化する場合に，安定性が保たれるために
や位相∠
に許される変化の範囲が安定余裕
ゲイン
誤差
目標値
制御器
操作量
制御対象
制御対象
制御量
公称モデル
1
1
実際の制御対象（未知）
,
フィードバック制御系
2
？
問題
から
に変化した場合について考える．
制御対象が
2,4のそれぞれについて，未知の部分
が
1
2
の場合のステップ応答をシミュレーションで確認し，ゲイン余裕の観点から考察し，
Wordのレポートに纏めて提出しなさい．
2
4
1
2
第12回
制御システム設計
7
期末試験について
期末試験
授業最終回の7月23日（木）の3時限目に実施
重要ポイント：シラバスの「達成目標」を参照
配布資料のPDFは授業HPに掲載
小テストを中心に勉強しておく（解答はWebClassの解説に
PDF）
持込み用紙：手書きのみ可
成績の60％（シラバス参照）
第12回
制御システム設計
8

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