制御システム設計第14回

小テスト有→要PC起動
制御システム設計第１４回
～ボード線図と安定余裕～
東京都市大学工学部
機械システム工学科
野中謙一郎
http://www.cl.mse.tcu.ac.jp/lab/edu/dcs/
ボード線図から読み取ったゲイン余裕GMと位相余裕PMの値を用いて制御系を設計する
制御システム設計
2014年前期
1
前回課題ゲイン余裕・位相余裕の計算
下記のフィードバック制御系と制御対象
について，P制御のゲインが
2と
場合の点 1,0 付近のベクトル軌跡を描き，ゲイン余裕と位相余裕を求めなさい．
4の
一巡伝達関数
誤差
目標値
制御器
操作量
制御対象
制御対象
制御量
1
1
2
フィードバック制御系
Im
0.5
Re
D
0
B
C
-0.5
A
A(‐0.842252,‐0.539084)
B(‐0.333333,0)
C(‐0.980074,‐0.198374)
D(‐0.666667,0)
2
ゲイン余裕GM
.
-1
2
4
-1.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
位相余裕PM tan
4
ゲイン余裕GM
.
.
tan
.
.
.
位相余裕PM
2014年前期
3.00
制御システム設計
32.6°
1.50
11.4°
2
安定余裕
フィードバック制御系の制御対象
が変化する場合に，安定性が保たれるために
や位相∠
に許される変化の余裕
ゲイン
目標値
制御器
誤差
操作量
制御対象
制御量
フィードバック制御系
1.5
0.5
Im
9
8
Re
sin
3
1.0
4
0.5
2
1
0
0.0
-0.5
-0.5
1
7
-1.0
-1.5
-1
4
-1.5
-1.5
-1
-0.5
2
0
0.5
/
1 のベクトル軌跡
7は安定限界に近く，安定余裕が小さい．
ベクトル軌跡が負の実軸と交わる点
1
ベクトル軌跡の距離が1になる点の偏角
180°
2014年前期
50
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
0
5
10
15
20
25
30
35
40
9は振幅が加速して増加
7は
一定振幅に
収束する
8は振幅が一定速度で増加
0
5
10
15
20
25
30
35
40
のステップ応答のグラフ
制御システム設計
3
6.3 ゲイン余裕・位相余裕（p.122）
ゲイン交差角周波数
(gain crossover frequency)
1となる点Gにおけるで，この時の位相∠
が，
∠
180°なら安定， ∠
180°なら不安定
位相交差角周波数
(phase crossover frequency)
∠
180°となる点Pにおけるで，この時のゲイン
1なら安定，
1なら不安定
Im
1.0
1
GM
0.5
が，
1
0.0
PM
OP
0.4
0.5より
0.2
1
P
Re
2.0
GM
0.0
0.5
O
0.5
1.0
G 0.94, 0.34 より -0.2 PM
0.34
-0.4
G 0.94, 0.34
PM tan
0.94
-0.6
-1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4
20°
2014年前期
GMとPMの計算例
3/ 制御システム設計
1
2
0.0
Re
が増加
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
安定な場合のPとG
Im
0.5
Im
∞
O
G
-0.5
ゲイン余裕 GM (gain margin)
∠
180°となる点Pにおけるゲイン
OPについて，-1.0
OP GM 1
-1.5
すなわち， OPが何倍されたら不安定になるかを表す値で
-2.0
1
-2.0
GM
OP
位相余裕 PM (phase margin)
1となる点Gにおける位相∠
が 180°まで
1.0
何度の余裕があるかを表す．
P
G
P
Re
∞
1
O
-0.5
-1.0
-1.5
-2.0
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
不安定な場合のPとG
1.0
4
ボード線図の復習
横軸
ゲイン
振幅 (dB)
縦軸
ゲイン20 log
位相∠
[°]
[dB]
-20
-40
0.1
-60
1
10
-80
0
位相 (deg)
1次遅れ系のボード線図
1
ベクトル軌跡との関係
-30
-60
-90
-3
10
10
-2
10
0.1
1
10
-1
10
0
10
1
周波数 (rad/s)
0.4
K=1
10
2
10
3
時定数が変化
線
0.3
From: Step To: Transfer Fcn
20
0.2
10
10
ゲイン
振幅 (dB)
0
10
0.0
-0.1
10
0.1
0
入力の角周波数 [rad/s]
0.1
From: Step To: Transfer Fcn
20
10
∠
-20
10
1
0.1
-40
-60
-80
0
-0.2
位相 (deg)
-0.3
-0.4
-0.5
10
-0.6
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
0.1,1,10
-30
-60
-90
-3
10
10
-2
10
-1
10
0
10
1
周波数 (rad/s)
制御システム設計
2014年前期
10
2
10
3
ゲインが変化
5
ゲイン・位相余裕とボード線図
Im
ボード線図
From: Step To: Transfer Fcn
40
1.0
ゲイン
振幅 (dB)
20
G
0
20log
P
-20
0.5
GM
1
0.0
-40
PM
-135
-1.5
P
-225
-270
-1
10
10
∞
Re
O
0
10
1
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
周波数 (rad/s)
Im
ボード線図
From: Step To: Transfer Fcn
40
1.0
位相 (deg)
ゲイン
振幅 (dB)
20
P G
0.5
0
-20
0.0
G
P
-60
-90
-0.5
-135
-1.0
Re
∞
1
-40
不安定な場合
位相が 180°になる点Pで
ゲインが1以上（0dB以上）
ゲインが1になる点Gで
位相が 180°以下
O
-180
-1.5
P G
-225
-270
-1
10
2014年前期
10
0
周波数 (rad/s)
10
1
-2.0
-2.0
-1.5
-1.0
制御システム設計
-0.5
0.0
2
練習問題
上ので下記求め一致を確認
 ベクトル軌跡のGM,PM
 GMは0.5→約6dB
 PMは約20°
 ボード線図のGM,PM
 GMは約6dB
 PMは約20°
が増加
-2.0
-2.0
安定な場合
位相が 180°になる点Pで
ゲインが1未満（0dB未満）
ゲインが1になる点Gで
位相が 180°以上
3
1
-1.0
G
PM
-180
P
G
-0.5
-60
-90
位相 (deg)
1
GM
0.5
1.0
10
1
2
6
演習課題安定余裕の確認
フィードバック制御系の制御対象
が変化する場合に，安定性が保たれるために
や位相∠
に許される変化の範囲が安定余裕
ゲイン
誤差
目標値
制御器
操作量
制御対象
制御対象
制御量
3
1
公称モデル
2
実際の制御対象（未知）
,
フィードバック制御系
（１）
20 log
0.01として，安定になるの最大値をシミュレーションから求め，
が
のゲイン余裕とおおよそ一致することを確認
（２）
∠
1として，安定になるの最大値をシミュレーションから求め，
が
の位相余裕とおおよそ一致することを確認
10
20
ボード線図
From: Step To: Transfer Fcn
0
0.1
-20
From: Step To: Transfer Fcn
20
振幅 (dB)
振幅 (dB)
0
-10
のボード線図から
のボード線図から
1
10
1
-30
-20
-40
-60
-40
-80
0
位相 (deg)
位相 (deg)
-50
0
-45
-90
-3
10
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
周波数 (rad/s)
のゲイン余裕と位相余裕
2014年前期
のゲインの変化（
制御システム設計
10
3
-30
-90
-3
10
10
-2
10
0.1
1
10
-60
-1
10
0
10
1
10
2
周波数 (ra d/s)
0.01）
の位相の変化（
1）
7
10
3

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