演習問題1 及び略解

線形代数学Ⅱ 演習問題 1
2014 年度後期
工学部 1 年
担当: 原隆 (未来科学部数学系列・助教)
※レポートを提出したい人は、以下の注意点を守って提出して下さい。
(ⅰ) 必ず分かるところに学籍番号、学科、氏名を書いて下さい。
(ⅱ) A4 の紙を用いて、複数枚になる場合はホチキスや針無しステープラーで綴じて下さい。
(ⅲ) 提出期限は 10/3 (金) とします。
babababababababababababababababababab
n 次行列式の基本 3 性質
1◦ . 多重線形性
2◦ . 歪対称性
3◦ . det(In ) = 1 (但し In は n 次単位行列)
問題 1-1. (行列式の基本性質)
n 次正方行列 A = (ai,j )1≤i,j≤n = (a1 a2 . . . an ) の行列式に関する以下の設問に答えなさい。
(1) [テキスト系 5.38. 参照] A の二つの列が一致するとき*1 、det A = 0 となることを「n 次行列
式の基本 3 性質」を用いて証明しなさい。
(2) [テキスト定理 5.41. 参照] 行列の列基本変形の一つである
ある列に他の列の実数倍を加える
という操作を A に施した行列の行列式が det A と一致すること、即ち 1 ≤ i, j ≤ n を満たす
自然数 i, j 及び実数 λ に対して等式
det(a1 . . . ai + λaj . . . aj . . . an ) = det(a1 . . . ai . . . aj . . . an )
(= det A)
が成り立つことを、(1) の結果と「n 次行列式の基本 3 性質」を用いて証明しなさい。
問題 1-2. (行列式の計算Ⅰ)
「n 次行列式の基本 3 性質」と問題 1-1. の結果のみを用いて以下の行列式を計算しなさい (つま
り、
「2 次行列式の展開公式やサラスの公式等の公式は用いないで計算しなさい」ということ)。
(
(1) det
*1
5 3
−2 1

)
(2)

3 0
0 2
3 1
1
det 2
0

(3)
1
0
det 
0
0
0
2
0
0
0
0
3
0
即ち『或る 1 ≤ i, j ≤ n を満たす自然数 i, j について ai = aj が成り立つとき』という意味。
1

0
0

0
4
問題 1-3. (行列の余因子展開Ⅰ)
3 次正方行列


a b c
A = d e f 
g h i
について、以下の設問に答えなさい。但し、以下の公式については断らずに用いても良いものとしま
す*2 。

a11
det  0
0
0
a22
a32

(
0
a

= a11 det 22
a23
a32
a33
a23
a33
)
(1)「n 次行列式の基本 3 性質」(と問題 1-1. の結果) を用いて、等式
(
)
(
)
(
)
e f
b c
b c
det A = a det
− d det
+ g det
h i
h i
e f
が成り立つことを証明しなさい。
(2) (1) の結果を用いて、サラスの公式
det A = aei + bf g + cdh − ceg − bdi − af h
が成り立つことを証明しなさい。但し、2 次行列式の展開公式は用いても良いものとします。
[ヒント] (1) 先ずは
 
 
 
 
a
1
0
0
d = a0 + d1 + g0
g
0
0
1
に注意して、多重線形性 (「n 次行列式の基本 3 性質」の 1◦ .) を用いてみよう。
問題 1-3. の (1) で求めた公式は、行列式の余因子展開と呼ばれるものの一例です。今後、n 次
行列式も同様に「余因子展開」して計算出来ることを学んでいきます。
*2
気になる人はテキストの補題 5.56. を参照して下さい。講義でもそのうち扱う予定です。
2
【略解】
問題 1-1. 行列式の基本 3 性質を巧く使って計算しよう。
(1) 第 i 列と第 j 列が一致する、即ち ai = aj が成り立つと仮定しよう。このとき、行列式の基
本 3 性質 2◦ . (歪対称性) より、第 i 列と第 j 列を入れ換えると
det A = det(a1 . . . ai . . . aj . . . an )
2◦
= − det(a1 . . . aj . . . ai . . . an ) = − det A,
即ち 2 det A = 0 が得られる。したがって det A = 0 が成り立つ。
(2) 行列式の基本 3 性質 1◦ (多重線形性) より
det(a1 . . . ai + λaj . . . aj . . . an )
1◦
= det(a1 . . . ai . . . aj . . . an ) + λdet(a1 . . . aj . . . aj . . . an )
が成り立つ。ここで、右辺第二項 (青色の部分) は第 i 列と第 j 列が同じベクトルとなってい
るので、(1) より 0 となる。したがって
det(a1 . . . ai + λaj . . . aj . . . an ) = det(a1 . . . ai . . . aj . . . an )
が成り立つ。
【解説】行列式の基本的な性質に関する問題。特に、この問題で扱った性質 (1), (2) は、行列式の計
算をする際には「常識」の様に用いられることですので、しっかり復習しましょう。
一応証明問題とはなっていますが、(1) は歪対称性 (基本 3 性質 2◦ .) を使えばあっという間に証明
出来ますし*3 、(2) も多重線形性 (基本 3 性質 1◦ .) と (1) を組み合わせれば瞬殺の問題ですので、難
易度としては全く高くありません。行列式の基本をきちんと理解しているかを確認するためには非
常に良い問題になっていますので、まだ解いていない人は是非チャレンジしてみて下さい。
基本的に正答率は良かったですが、何故か「n = 3, i = 1, j = 2 とおいて」証明している人が少
なからずいらっしゃいました。「何故か」とは言ったものの、原因は「テキストでその場合に証明し
ていたから」であることはほぼ間違いないと思いますが (^^; ただ、テキストの証明は単に「n 次行
列を書くのが面倒だし紙面もとるから」3 次行列の場合だけ書いているのであって、一般の n 次行
列の場合も全く同様に証明することが出来ます!! n = 3 の時の証明を書いて下さった方は、是非と
も一般の n の場合の証明にもチャレンジしてみましょう!
問題 1-2. 行列式の基本 3 性質を用いれば、(多少計算が面倒でも) 行列式が確実に求まることを確認
しながら計算して下さい。
*3
2 次行列式の場合には講義中にも説明しました。
3








以下、i 番目の成分のみが 1 で他の成分は 0 である列ベクトルを ei = 








0
..
.
0
1
0
..
.







 ( i で表す。







0
(1)
(
5 3
det
−2 1
)
(
= det
5e1 − 2e2
3
1
)
(
= 5 det e1
)
(
3
− 2 det e2
1
1◦
)
3
1
= 5 det(e1 3e1 + e2 ) − 2 det(e2 3e1 + e2 )
(
1◦
(
((
((2(e2 )
(((
=(
5 ·(
3 det(e
−2(det(e
1 e1 ) + 5 det(e1 e2 ) − 2 · 3 det(e2 e1 )(
2◦
3◦
= 5 det(e1 e2 )+6 det(e1 e2 ) = 5 + 6 = 11.
(2)

1 3

det 2 0
0 3


0
2 = det  e1 + 2e2
1



3 0
◦
1
0 2  = det e1
3 1


0
= det  e1 3e1 + 3e3 2  + 2 det 
1



0
◦
1
e1 e1 2 + 3 det e1 e3
= 3 det 
1

+ 2 · 3 det e2


3 0
0 2 + 2 det e2
3 1
e2
3e1 + 3e3

0
2 
1
3
0
3

0
2
1

0
2
1
e1


0
2 + 2 · 3 det e2
1
e3

0
2
1
= 3 det(e1 e3 2e2 + e3 ) + 6 det(e2 e1 2e2 + e3 ) + 6 det(e2 e3 2e2 + e3 )
(
1◦
(((
((( 6 · 2 det(e
3 det(e
= 3 · 2 det(e1 e3 e2 ) + (
2 e1 e2 )
1 e3 e3 ) + (
(((
((((
(
(((
(((
6 det(e
6 ·(
2 det(e
+ 6 det(e2 e1 e3 ) + (
(((
2 e3 e3 )
2 e3 e2 ) + (
(((
2◦
3◦
= −6 det(e1 e2 e3 )−6 det(e1 e2 e3 ) = −6 − 6 = −12.
(3)

1
0
det 
0
0
0
2
0
0
0
0
3
0

0
0
 = det(e1 2e2 3e3 4e4 )
0
4
1◦
1◦
= 2 det(e1 e2 3e3 4e4 ) = 2 · 3 det(e1 e2 e3 4e4 )
1◦
3◦
= 12 · 4 det(e1 e2 e3 e4 ) = 24.
4
※ 上記の解答で斜め線で消してある項は、問題 1-1. (1) の結果から 0 になることが分かる箇所を表
しています (各自確認しよう)。
【解説】行列式の基本 3 性質のみを用いて (地道に) 行列式を計算する問題。講義で解説した様に、1
列ずつ地道に多重線形性 (基本 3 性質 1◦ .) を用いて「ばらばらにして」、歪対称性 (基本 3 性質 2◦ )
をもちいて「単位行列の行列式」の形を作っていけば、行列式はいつかは必ず計算することが出来ま
す。兎にも角にもこの 3 つの性質を使えば行列式が計算出来るということを確認することも非常に
大切なことです。
この問題を解いた方なら、基本 3 性質を用いて地道に行列式を計算するのはとっても面倒くさい
ことも身に染みて実感されたと思います。今後講義では、少しでも「楽に」行列式を計算する方法も
紹介していきますので、楽しみにしていて下さい*4 。
提出されたレポートを拝見する限り、あまりにも「変な」計算をしているものはありませんでした
(とは言っても 7 枚しか提出されてないけど)。最初に述べた様に、基本 3 性質を使えば行列式は必ず
計算出来ることを確認するのも行列式の理解のためには非常に大事なことですので、まだこの問題
に手を付けていない方は是非お早めに挑戦されることをお薦めします。
問題 1-3. 行列式の基本 3 性質の 1◦ . (多重線形性) をきちんと使いこなせていれば、それほど難しい
問題ではありません。
※ 行の交換に関しても歪対称性 (行列式の基本 3 性質の 2◦ ) が成り立つことを用いても良いことを
断るのを忘れていました。大変申し訳ございませんでした。
行に関しても行列式の基本 3 性質が成り立つことは、講義でも簡単に扱います*5 。
(1) 多重線形性 (行列式の基本 3 性質 1◦ .) を第 1 列に用いて


  
 
 

a b c
1
0
0
b c
det d e f  = det  a 0 + d 1 + g 0 e f 
g h i
0
0
1
h i






1 b c
0 b c
0 b c
◦
1
= a det  0 e f  + d det  1 e f  + g det  0 e f 
0 h i
0 h i
1 h i
· · · (∗)
となる。行の入れ換えに関しても歪対称性 (行列の基本 3 性質の 2◦ ) が成り立つことを用い
ると、






1
b
c
1
e
f
1
h
i
2◦
(∗) = a det  0 e f  −d det  0 b c  +g det  0 b c 
0 h i
0 h i
0 e f
· · · (∗∗)
が成り立つ。ここで問題 1.1 (2) の結果を用いて、第一列目を用いて (1, 2) 成分及び (1, 3) 成
分を掃き出すと

1

0
(∗∗) = a det
0
*4
*5




0 0
1 0 0
1 0




e f
0 b c
0 b
− d det
+ g det
h i
0 h i
0 e

0
c 
f
そうは言っても、行列式の計算は基本的にはどんなやり方で計算しても繁雑で面倒くさいものではあるのですが………
簡潔に言えば、転置行列の行列式は元の行列の行列式と変わらない (det A = det t A) という性質から従います
5
となるため、問題文中の公式を当て嵌めると
(
e f
det A = a det
h i
)
(
b
− d det
h
)
(
)
c
b c
+ g det
i
e f
が成り立つことが分かる。
(2) 2 次正方行列の展開公式を当て嵌めると、
(
)
(
)
(
)
e f
b c
b c
− d det
+ g det
det A = a det
h i
h i
e f
= a(ei − f h) − d(bi − ch) + g(bf − ce) = aei + bf g + cdh − ceg − bdi − af h
が導かれる。
【解説】行列式の余因子展開を 3 次正方行列の場合に具体的に導き出す問題。非常に大事なヒント
(行の入れ換えに関する歪対称性) を出し忘れると言う大変申し訳のないことをしてしまいましたが、
皆さんそれぞれ工夫しながら何とか (1) を導き出そうとして下さったようです。その努力は決して無
駄にはなりません。この調子で頑張って下さい。
さて、(1) 番は行の入れ換えに関する歪対称性さえ認めてしまえば、多重線形性と行の入れ換えを
行うことで割と簡単に (∗∗) の形にまでは変形出来るのではないかと思います。問題はその次のス
テップで、「問題 1-1. (2) (つまり列基本変形のうちの一つ) を用いて (1, 2) 成分と (1, 3) 成分を
0 にすることが出来ることに気付けるか」が勝敗を分けるポイントだったのではないでしょうか？
行列式の単元の終盤では、行列式の余因子展開と呼ばれるものを学びますが、問題 1-3. はその典
型例です。そして、一般の場合の余因子展開も問題 1-3. (1) の証明と全く同じ様にして証明するこ
とが出来ます。一般の場合の余因子展開は n 次行列の場合に解説することになると思いますので、
「一般の n では取っ付きづらい」という方は、是非余因子展開を学ぶ前に問題 1-3. の略解を復習さ
れることをお薦めします。
6

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