Blatt5

Sommersemester 2015
GU Frankfurt
Prof. Dr. Esther Cabezas-Rivas
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Analysis 2 – Ubungsblatt
5
(Abgabe: 18.05.2015)
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1. Sei (𝑀, 𝑑) ein metrischer Raum. Beweisen Sie:
(a) 𝑀 ist vollst¨
andig und totalbeschr¨ankt genau dann, wenn 𝑀 kompakt ist.
(b) Falls 𝐴 ⊂ 𝑀 totalbeschr¨
ankt ist, dann ist 𝐴 auch totalbeschr¨ankt.
(c) Nehmen wir zus¨
atzlich an, dass 𝑀 vollst¨andig ist. Zeigen Sie: Falls 𝐴 ⊂ 𝑀 totalbeschr¨ankt
ist, dann ist 𝐴¯ kompakt.
[6 P]
2. Sei (𝑀, 𝑑) ein metrischer Raum.
(a) Zeigen Sie: 𝐴 ⊂ 𝑀 ist abgeschlossen ⇔ f¨
ur alle 𝐾 ⊂ 𝑀 kompakt ist 𝐴∩𝐾 auch kompakt.
(b) Der Durchmesser von 𝑀 ist deﬁniert als diam(𝑀 ) := sup{𝑑(𝑥, 𝑦) : 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀 }. Wir
nehmen an, dass 𝑀 kompakt ist. Beweisen Sie: diam(𝑀 ) ist endlich und existieren zwei
Punkte 𝑥0 , 𝑦0 ∈ 𝑀 , sodass 𝑑(𝑥0 , 𝑦0 ) = diam(𝑀 ).
(c) Sei 𝑀 nochmals kompakt und nicht eine einelementige Menge. Zeigen Sie: es gibt keine
Kontraktion 𝑓 : 𝑀 → 𝑀 mit 𝑓 (𝑀 ) = 𝑀 .
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(d) Benutzen Sie die Deﬁnition der Uberdeckungskompaktheit,
um einen alternativen Beweis
des Satzes 1.59 zu schreiben.
[8 P]
3. Richtig oder falsch? (Nat¨
urlich antworten Sie entweder mit einem Beweis oder einem Gegenbeispiel.)
(a) Jede oﬀene Teilmenge ist das Innere ihres Abschlusses.
(b) Die einzigen nichtleeren Teilmengen des Cantorschen Diskontinuums, die zusammenh¨angend
sind, sind die einelementigen Mengen.
(c) Seien {𝐾𝑖 }∞
𝑖=1 kompakte nichtleere Teilmengen eines metrischen Raumes (𝑀, 𝑑) mit
𝐾𝑖+1 ⊂ 𝐾𝑖 f¨
ur alle 𝑖. Dann ∩∞
𝑖=1 𝐾𝑖 ∕= ∅.
(d) Seien {𝐴𝑖 }∞
𝑖=1 nichtleere abgeschlossene Teilmengen eines metrischen Raumes (𝑀, 𝑑) mit
𝐴𝑖+1 ⊂ 𝐴𝑖 f¨
ur alle 𝑖. Dann ∩∞
𝑖=1 𝐴𝑖 ∕= ∅.
(e) Seien 𝑀 und 𝑁 zwei hom¨
omorphe metrische R¨aume. 𝑀 ist vollst¨andig ⇔ 𝑁 ist vollst¨andig.
(f) Sei 𝑀 ein metrischer Raum und nehmen wir an, dass es zu je zwei Punkten 𝑝, 𝑞 ∈
𝑀 eine stetige Abbildung 𝑓 : [0, 1] → 𝑀 gibt mit 𝑓 (0) = 𝑝, 𝑓 (1) = 𝑞. Dann ist 𝑀
zusammenh¨
angend.
[6 P]
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