Übungsblatt 4 - Fachbereich Mathematik und Informatik

Fachbereich Mathematik und Informatik
Universit¨
at Marburg
Prof. Dr. Pablo Ramacher
Benjamin K¨
uster
Sommersemester 2015
¨
Ubungen
zur Vorlesung Analysis I
– Blatt 4 –
Abgabe Dienstag, 19.05. vor der Vorlesung
Aufgabe 1 (2 Punkte).
Beweisen Sie, dass ein nicht leerer metrischer Raum genau dann zusammenh¨angend ist, wenn er nur eine
Zusammenhangskomponente besitzt.
Aufgabe 2 (4 Punkte).
Zeigen Sie:
a) Ein metrischer Raum (X, d) ist genau dann zusammenh¨angend, wenn X und ; die einzigen Teilmengen von X sind, die sowohl o↵en als auch abgeschlossen sind. (2 P)
b) Ein metrischer Raum hat mindestens so viele Zusammenhangskomponenten wie paarweise disjunkte
nicht leere Teilmengen, die sowohl o↵en als auch abgeschlossen sind. (2 P)
Aufgabe 3 (2 Punkte).
Sei X eine Menge und d : X ⇥ X ! {0, 1} die diskrete Metrik. Wir erhalten den metrischen Raum (X, d).
a) Zeigen Sie: Alle Teilmengen von X sind sowohl o↵en als auch abgeschlossen. (1 P)
b) Folgern Sie: X besitzt genau so viele Zusammenhangskomponenten wie Punkte. (1 P)
Anmerkung: die Aufgabe zeigt, dass es nicht nur von der zugrunde liegenden Menge, sondern ebenfalls
stark von der Metrik abh¨
angt, ob ein metrischer Raum zusammenh¨angend ist oder nicht. Beispielsweise
haben die Menge der reellen Zahlen R und das Einheitsintervall [0, 1] beide u
¨berabz¨ahlbar unendlich viele
Zusammenhangskomponenten, wenn man sie mit der diskreten Metrik versieht.
Aufgabe 4 (4 Punkte).
Seien (X1 , d1 ) und (X2 , d2 ) zwei metrische R¨aume, und (X1 ⇥ X2 , d) das kartesische Produkt der metrischen R¨
aume (X1 , d1 ) und (X2 , d2 ).
a) Zeigen Sie: Ist A ⇢ X1 ⇥ X2 o↵en in (X1 ⇥ X2 , d), dann ist f¨
ur jeden Punkt x2 2 X2 die Menge
Px2 (A) := {x 2 X1 : (x, x2 ) 2 A} ⇢ X1
o↵en in (X1 , d1 ). (2 P)
b) Zeigen Sie mit Hilfe von a), dass (X1 ⇥ X2 , d) zusammenh¨angend ist, falls (X1 , d1 ) und (X2 , d2 )
zusammenh¨
angend sind. (2 P)
Aufgabe 5 (3 Punkte).
Im Folgenden definieren wir jeweils eine Teilmenge X ⇢ R und betrachten den metrischen Raum
(X, d), wobei d von der u
¨blichen euklidischen Metrik auf R induziert wird. Entscheiden Sie jeweils mit
Begr¨
undung, ob (X, d) nur endlich viele oder unendlich viele Zusammenhangskomponenten besitzt.
a) X = Z
b) X =
1
n
:n2N
c) X = ( 1, 0] [
1
n
:n2N
bitte wenden
Aufgabe 6 (5 Punkte, nicht obligatorisch f¨
ur Studierende des Lehramts).
Zwei metrische R¨
aume (X, dX ) und (Y, dY ) heißen isometrisch, wenn eine bijektive l¨angenerhaltende
Abbildung f : X ! Y existiert. L¨
angenerhaltend bedeutet:
dY (f (x1 ), f (x2 )) = dX (x1 , x2 )
8 x1 , x2 2 X.
Eine solche bijektive l¨
angenerhaltende Abbildung heißt Isometrie. Zeigen Sie:
¨
a) Die Eigenschaft, isometrisch zu sein, definiert eine Aquivalenzrelation
auf der Klasse der metrischen
R¨
aume. (2 P)
b) Ist f : X ! Y eine Isometrie zwischen zwei metrischen R¨aumen (X, dX ) und (Y, dY ) und ist A ⇢ X
o↵en, dann ist auch f (A) o↵en in Y . (2 P)
c) Sind zwei metrische R¨
aume (X, dX ) und (Y, dY ) isometrisch und ist X zusammenh¨angend, dann
ist auch Y zusammenh¨
angend. (1 P)
bitte wenden
J. Wilmsmeyer
Schnittstellenaufgaben zur Analysis I (Sommersemester 2015)
Aufgabe 2: Fortsetzung von Folgenanfängen
(3+2=5 Punkte)
Zahlenrätsel sind für viele Menschen aller Altersklassen eine motivierende Herausforderung. Bei einer Form
solcher Rätsel soll man die logische Fortsetzung zu einer vorgegebenen Zahlenreihe finden. Die Schwierigkeit besteht darin, aus relativ wenigen Vorgaben ein bestimmtes Muster zu erkennen. Dieser Aufgabentyp ist
auch in Einstellungs- oder Intelligenztests sowie in Angeboten zum sogenannten „Brain-Jogging“ recht weit verbreitet. Im Folgenden werden zwei derartige Beispiele aus schulischem Kontext untersucht.
aus: Götz Krummheuer: Inhaltsanalyse.
in: http://www.fallarchiv.uni-kassel.de (2011)
a)
Alle Teilaufgaben beziehen sich auf den
unteren Teil der nebenstehenden Skizze.
(i) Linas Lösung lautet „5“, Dennis meint „2“ und Ahmed ist sich sicher, dass „6“ die richtige Antwort ist. Mit welchen Worten werden sie ihre Antworten begründen? (Alle drei gehen in die dritte Klasse.)
(ii) Geben Sie die zu den Überlegungen der Kinder aus (i) jeweils passende formale Vorschrift für eine
Zahlenfolge (an) an. Wählen Sie dabei mindestens einmal eine explizite bzw. eine rekursive Gestalt.
(iii) Ermitteln Sie mit Hilfe eines Polynoms von möglichst niedrigem Grad eine weitere Vorschrift für die Folge.
b) Betrachten Sie folgende Aufgabe aus dem Schulbuch Lambacher-Schweizer, Analysis-Leistungskurs
Gesamtband (Klett 2001):
(i) Ermitteln Sie eine explizite (geschlossene) Vorschrift für die Folge e).
Welche Irritation könnte sich hier im ersten Moment für einen im Umgang mit Folgen noch weniger
erfahrenen Oberstufenschüler ergeben?
(ii) Diskutieren Sie die Frage im gelb unterlegten Pfeil unter Berücksichtigung der Erkenntnisse aus Teil a)!

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