Übungsblatt 3

Mathematisches Institut der LMU
David Müller und Dr. Stephan Stadler
Topologie und Differentialrechnung mehrerer Variablen
SoSe, 28. 04. 2016
Übungsblatt 3
Alle Antworten sind zu begründen.
Aufgabe 9
Verifizieren sie die folgenden Ausssagen für beliebige Teilmengen A, B eines topologischen Raums (X, T ):
(a) A ∪ B = A ∪ B.
(b) A ∩ B ⊂ A ∩ B.
(c) (A ∩ B)◦ = A◦ ∩ B ◦ .
(d) (A ∪ B)◦ ⊃ A◦ ∪ B ◦ .
Finden Sie Beispiele für (b) und (d) bei denen die Gleichheit nicht gilt.
(2+2+2+2+1+1 Punkte)
Aufgabe 10
Sei (X, d) metrischer Raum. Zeigen Sie: Für alle x in X gilt:
Br (x) ⊂ {y ∈ X : d(x, y) ≤ r} .
Zeigen Sie, daß die umgekehrte Inklusion im allgemeinen nicht gilt.
(5+5 Punkte)
Aufgabe 11
Sei (X, d) metrischer Raum und A ⊂ X eine Teilmenge. Wir definieren den Abstand eines Punktes x ∈ X
von A als
d(x, A) = inf d(x, y) .
y∈A
Zeigen Sie:
(a) Es gilt d(x, A) = 0 genau dann, wenn x ∈ A.
(b) d( · , A) ist 1-Lipschitz und somit stetig.
(5+5 Punkte)
Aufgabe 12
Es sei (Xn , dn )n∈N eine abzählbare Familie metrischer Räume. Zeigen Sie, dass die Funktion
d : X × X → [0, ∞), gegeben durch
∞
d((xn )∞
n=1 , (yn )n=1 ) :=
∞
X
n=1
eine Metrik auf dem Produktraum X :=
Q
n
2−n
dn (xn , yn )
1 + dn (xn , yn )
Xn definiert, welche die Produkttopologie auf X induziert.
(3+7 Punkte)
Abgabe: Bis Montag, 09. 05. 2016, 12:00 Uhr in den Übungskästen 11 und 31 bis 34 im 1. Obergeschoss.

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