Algebraische Geometrie

Prof. Dr. S. Orlik
Dr. T. Hudson
WS 2016/17
Übungen zur Vorlesung Algebraische Geometrie“
”
2. Übungsblatt
Aufgabe 1. Sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei X eine eine
algebraische k-Varietät. Zeigen Sie:
a) Die offenen Teilmengen D(f ) := {x ∈ X | f (x) 6= 0} mit f ∈ k[X]
bilden eine Basis der Topologie von X.
b) Ist f ∈ k[X] mit f (x) 6= 0 für alle x ∈ X, so ist f eine Einheit in k[X].
Aufgabe 2. Sei X ein topologischer Raum. Zeigen Sie:
a) Ist X noethersch, so ist jede offene Teilmenge U ⊂ X quasikompakt.
b) Ist X irreduzibel, so ist jede nichtleere offene Teilmenge U ⊂ X dicht
in X.
Aufgabe 3. Sei X = V (Y 2 − X 3 ) ⊂ k 2 .
a) Zeigen Sie, dass der Morphismus f : k → X, x 7→ (x2 , x3 ) ein
Homöomorphismus ist.
b) Entscheiden Sie, ob f ein Isomorphismus von affinen algebraischen kVarietäten ist.

Download Report