Document

Fachrichtung Mathematik
Institut für Analysis
Dr. N. Koksch
SS 2010
Blatt 10
Funktionentheorie und gewöhnliche Differentialgleichungen
1. Welche der folgenden Differentialgleichungen sind exakt? Lösen Sie diese.
a) (y 2 + 2x y)dx + (x2 + 2x y)dy = 0, b) 4x + y 2 + 2x y y 0 = 0,
c) y 3 y 0 + x3 + x2 y y 0 + x y 2 = 0,
d) − x y 0 = 2x cos(x2 ) − y,
e) − 2x y dx + (3y 2 − x2 )dy = 0,
f ) x2 + y − x y 0 = 0.
2. Für die folgenden nichtexakten Differentialgleichungen bestimme man integrierende Faktoren µ = µ(x) bzw. µ = µ(y):
a) − 2x y dx + (3x2 − y 2 )dy = 0, b) (x − y)y 2 dx + (1 − x y 2 )dy = 0,
c) xy 2 + y − x y 0 = 0,
d) (3x y + 4x2 y 2 )dx + (2x2 + 3x3 y)dy = 0.
3. Sei α > 0; D ⊆ R2 und f : D → R. Beweisen Sie:
p
a) f (x, y) := 3 3 y 2 genügt auf D := R × (−α, α) keiner Lipschitz-Bedingung.
p
b) f (x, y) := |y| genügt auf D := R × (−α, α) keiner Lipschitz-Bedingung.
p
c) f (x, y) := |y| genügt auf D := R × (α, ∞) einer Lipschitz-Bedingung.
d) f (x, y) := x ey genügt auf D := R2 lokal einer Lipschitz-Bedingung, aber
nicht global.
4. Gegeben sei die Anfangswertaufgabe
p
y 0 = |y|, y(0) = 0.
Bestimmen Sie mindestens 3 Lösungen.
5. Bestimmen Sie alle Punkte (x0 , y0 ), für welche die Differentialgleichung
y 0 = f (x, y) =
x2 + y
x−y
die Voraussetzungen des Satzes von Picard-Lindelöf erfüllen.
6. Gegeben sei die Anfangswertaufgabe
y 0 = (x + y)2 , y(0) = 0.
a) Zeigen Sie, dass die Anfangswertaufgabe eindeutig lösbar ist.
Hinweis: Betrachten Sie f auf D := (− 41 , 14 ) × (− 41 , 14 ).
b) Lösen Sie die Aufgabe exakt.
c) Berechnen Sie Näherungslösungen mit Hilfe der Picard-Lindelöf-Iterierten
und vergleichen Sie diese mit der exakten Lösung. Starten Sie mit y0 (x) := 0.
bitte wenden
Folgende Aufgaben dienen der Wiederholung des Fixpunktsatzes von Banach
und werden nur bei Bedarf in der Übung besprochen.
7. Seien (X, d) ein vollständig metrischer Raum und M ⊆ X. M werde mit der
durch d induzierten Metrik dM versehen: dM : M × M → R mit dM (x, y) :=
d(x, y) ∀ x, y ∈ M . Beweisen Sie: (M, dM ) ist genau dann ein vollständiger metrischer Raum, wenn M als Teilmenge von X abgeschlossen ist.
8. Seien nun folgende Mengen M ⊆ R und Funktionen f : M → R gegeben:
1,
(1) M = [1, ∞[, f (x) = x + x
(2) M =]0, 1[, f (x) = 13 (x2 + 2),
(3) M = [0, 2], f (x) = 13 (4 − x2 ), (4) M = [3, 5], f (x) = arctan(x) + 3.
Untersuchen Sie in jedem dieser Fälle, ob
a) die Funktion f kontrahierend ist;
b) die Inklusion f (M ) ⊆ M besteht;
c) der Banachsche Fixpunktsatz anwendbar ist;
d) die Funktion f in M Fixpunkte besitzt.
9. Zeigen Sie mit Hilfe des Fixpunksatzes von Banach, dass es genau eine stetige
Funktion f : [−1, 1] → R gibt mit
f (x) = x +
1
sin(f (x)) für alle x ∈ [−1, 1].
2
√
10. Die Funktion f (x) := x2 − 3x−2, x ≥ 0 besitzt genau eine Nullstelle x∗ (warum?).
a) Formen Sie die Nullstellenaufgabe in Fixpunktprobleme um, und konstruieren
Sie verschiedene Iterationsverfahren zur Bestimmung von x∗ .
b) Welche dieser Verfahren sind „besonders gut geeignet“ zur Bestimmung der
Nullstelle?
c) Beschaffen Sie sich eine Anfangsnäherung und führen Sie einige Iterationsschritte mit diesen Verfahren aus.

Download Report