AD b

第 15 講
数学 B
ベクトル（ⅵ）
【問題 1】






直方体 ABCD-EFGH について， AB  a ， AD  b ， AE  c とするとき，次のベクトルを



a ， b ， c を用いて表せ．
D

（1） AG

（3） GD

（5） DF

（2） BG

（4） CF

（6） BH

b
E
105

a
A

c
C
B
H
G
F
【問題 2】






四面体 OABC において， OA  a ， OB  b ， OC  c とするとき， △ABC の重心 G を表す
 


ベクトル OG を a ， b ， c を用いて表せ．
106
【問題 3】
四面体 ABCD において， △BCD の重心を 
P，AP
を 2 :
1 に内分する点を Q とする．直線
DQ と平面 ABC との交点を R とするとき， AR を AB と AC で表せ．
107
【問題 4】
四面体 OABC において，点 P を辺 AB の中点，点 Q を線分 PC の中点，点 R を線分 OQ
の中点とする．直線 AR が
S とし，直線 OS と直線
3 点 O，B，C
  を通る平面と交わる点を
 
BC の交点を

T とする．

 OA  a ， OB  b ， OC  c とするとき
（1） OS を a ， b ， c で表せ．
（2） BT : CT を求めよ．
108
第 15 講
数学 B
ベクトル（ⅵ）解答
【問題 1】







直方体 ABCD-EFGH について， AB  a ， AD  b ， AE  c とするとき，次のベクトルを a ，


b ， c を用いて表せ．
D

（1） AG

（3） GD

（5） DF
C

b

（2） BG

（4） CF

（6） BH

a
A

c
H
E
















（4） CF  DE  AE  AD  c  b
        
（5） DF  AF  AD  (AB  AE)  AD  a  c  b





（6） BH  AH  AB  (AD  AE)  AB  b  c  a
109
G
F
（1） AG  AB  AD  AE  a  b  c
     
（2） BG  AH  AD  AE  b  c
 

 
 
（3） GD  FA   AF  (AB  AE)  ( a  c )

B
【問題 2】






四面体 OABC において， OA  a ， OB  b ， OC  c とするとき， △ABC の重心 G を表すベ
 


クトル OG を a ， b ， c を用いて表せ．
辺 BC の中点を M とすれば
  
OM  OB  OC
2
 
 bc
2
点 G は線分 AM を 2 : 1 に内分するから

 


OG  OA  2OM  1 OA  2 OM
2 1
3
3
 

 1 OA  2  OB  OC
3
3
2
  
 1 (OA  OB  OC)
3
  
1
 (a  b  c)
3
110
O
A
C
G
B
M
【問題 3】
四面体 ABCD において， △BCD の重心を
2 : 1 に内分する点を Q とする．直線 DQ
 P，AP
 を

と平面 ABC との交点を R とするとき， AR を AB と AC で表せ．

  
AP  1 (AB  AC  AD) より
3





AQ  2 AP  2 AB  2 AC  2 AD
3
9
9
9
点 
R は直線
DQ 上にあるから
DR  kDQ （ k は実数の定数）
とおけて
   

AR  AD  DR  AD  kDQ

 
 AD  k(AQ  AD)



 2 k AB  2 k AC  1  7 k AD …①
9
9
9
また，Ｒは平面 ABC 上にあるから

 
AR  s AB  t AC ( s，t は実数の定数) …②
とおける．
  
AB，　AC，　AD は 1 次独立であるから，①，②より， 2 k  s ， 2 k  t ， 1  7 k  0
9
9
9
9
2
 k  ，s  t 
7
7



2
2
 AR  AB  AC
7
7

111

【問題 4】
四面体 OABC において，点 P を辺 AB の中点，点 Q を線分 PC の中点，点 R を線分 OQ の
中点とする．直線 AR
O，B，C
を通る平面と交わる点を
S とし，直線 OS と直線 BC の
 が3 点
 

交点を
T とする．

 OA
  a ， OB  b ， OC  c とするとき
（1） OS を a ， b ， c で表せ．
（2） BT : CT を求めよ．
（1） P ，Q，R は， AB ，PC，OQ の中点であるから
   
  

a
b
OP 
， OQ  a  b  c ，
2
4 4 2
   
OR  a  b  c
8 8 4


AS  s AR とすると

 
OS  (1  s)OA  sOR



 1 7s a  sb s c
8
8
4



  
また， S は平面 OBC 上にあるから OS  xb  yc とおける． a，　b，　c は同一平面上に


ないから
1 7s  0， s  x ， s  y
8
4
8
8
1
2
 s  ，x  ， y 
7
7
7



1
2
ゆえに OS  b  c
7
7
（2） BT 
: TC  t : (1  t ) とすると

OT 
(1  t )b
tc
また， OT  kOS とすると



OT  k 1 b  2 c
7
7
 


ゆえに (1  t )b  tc  1 kb  2 kc
7
7
 
 
 
b  0 ， c  0 ，かつ， b, c は平行ではないので，1 次独立である．
そこで，それぞれの係数を比較して
1 t  1 k ，t  2 k
7
7
7
2
 t  ，k 
3
3
したがって
BT : CT  2 : 1  2  2 : 1
3
3



112


Download Report