2015　特選　数学演習a　1学期中間④　(今週の総集編) (　)組(　)番　名前(　)　１下の図で，点 O は △ABC の外心，点 I は △ABC の内心である。a を求めよ。 (1) A (3) (2) A 50, 35, A 20, O I ２ C B O 30, a a a B 70, C B C △ABC において，辺 BC，CA，AB の長さをそれぞれ a，b，c とする。△ABC の内心を I，直線 AI，BI と辺 BC，AC の交点を順に D，E とするとき，AI：ID， BI：IE を a，b，c を用いて表せ。３ AB=8，BC=7，AC=6 の △ABC で，4A およびその外角の二等分線が直線 BC と交わる点を順に D，E とする。線分 BD，CE の長さを求めよ。４ △ABC の辺 AB を 3：4 に内分する点を D，辺 AC を 5：6 に内分する点を E とし， BE と CD の交点と点 A を結ぶ直線が BC と交わる点を F とするとき，比 BF：FC を求めよ。 -1- ５ △ABC の辺 AB を 1：2 に内分する点を D，線分 CD を 9：4 に内分する点を E，AE と BC の交点を F とするとき，次の比を求めよ。 0 11 BF：FC　0 21 AE：EF -2- １２３４５ s　0 11 40,　0 21 70,　0 31 125, s　AI：ID= 0 b + c1 ：a，BI：IE= 0 a + c 1：b s　BD=4 ，CE=21 s　10：9 s　(1)　4：3　(2)　7：6 -3- １ 0 11 O と A を結ぶと　4OAB= 4OBA=20, よって　4OCA= 4OAC=50, -20, =30, (1) A 20, また，4OBC= a であるから 0 20,+30,1 + 0 20, + a1 + 0 30, + a1 =180, よって，100, +2a =180, から 20, O a =40, 0 21 4OBA= 4OAB=35, よって　a = 4OBA+ 4OAB a B a C =35, +35, =70, 0 31 4BCI= 4ACI=30, よって　4B=180, -70, - 0 30, +30,1 =50,　(3) A ゆえに　4IBC=50,& 2=25, 70, したがって　a =180, -25, -30, =125, I 30, a B ２ △ABC において，AD は 4A の二等分線であるから A BD：DC=AB：AC= c：b よって　BD= C 30, c c ac BC= b +c b +c △ABD において，BI は 4B の二等分線であるから I B E b Da ac = b + c1 ：a AI：ID=BA：BD= c： b +c 0 C 同様にして BI：IE=AB：AE= c：３ bc = a + c 1：b a+c 0 AD は 4A の二等分線であるから BD：DC=AB：AC=8：6=4：3 よって　BD= A 4 4 BC= % 7=4 4+3 7 AE は 4A の外角の二等分線であるから E BE：EC=AB：AC=4：3 B よって　CE=3BC=3 % 7=21 ４ △ABC において，チェバの定理により　よって　D C BF CE AD =1 ･･ FC EA DB A 3 BF 6 3 BF 10 = ･･ =1 ゆえに　FC 5 4 FC 9 D E 4 したがって　BF：FC=10 ：9 B -4- 5 6 F C ５ 0 11 △DBC と直線 AF について，メネラウスの定理により BF CE DA BF 9 1 =1 よって　････ =1 FC ED AB FC 4 3 すなわち　A 1 3 D E 4 BF 4 = FC 3 9 したがって　BF：FC=4：3 0 21 △ABF と直線 CD について，メネラウスの定理により BC FE AD 7 FE 1 =1 よって　････ =1 CF EA DB 3 EA 2 B C F A 1 D EA 7 すなわち　= FE 6 E 2 したがって　AE：EF=7：6 B -5- F 7 3 C