2-18

数学到達度検証試験徹底研究完全対策
１
Ⅱ－ 18
四面体 OABC の辺 OB，OC を，それぞれ 2：1，1：3 に内分す
3年
３
組
番
氏名
四面体 OABC の辺 OA，OB，OC をそれぞれ 1：2，1：1，2：1 に
る点を P，Q とする。△APQ の重心を G とし，直線 OG と平面
内分する点を順にD，E，F とする。頂点 O と △DEF の重心 G を通
ABC の交点を H とする。OA＝，OB＝，OC＝とするとき，次
る直線が，3 点 A，B，C の定める平面 ABC と交わる点を P とする
の問いに答えよ。
とき，OP を OA，OB，OC で表せ。
(1) OGを，，を用いて表せ。
(2) OHを，，を用いて表せ。
２
四面体 OABC の辺 OB，OC を，それぞれ 3：1，1：1 に内分する
点を P，Q とする。△APQ の重心を G とし，直線 OG と平面 ABC
の交点を H とする。OA= a，OB= b，OC= c とするとき，次の問い
に答えよ。
４
四面体 OABC の辺 OA，OB，OC をそれぞれ 1：1，2：1，3：1 に
内分する点を P，Q，R とする。点 O と △PQR の重心 G を通る直線
が平面 ABC と交わる点を K とするとき,
OK を OA= a，OB= b，OC= c で表せ。
(1)　OG を a，b，c を用いて表せ。
(2)　OH を a，b，c を用いて表せ。
数学到達度検証試験徹底研究完全対策
１
解答
Ⅱ－ 18
四面体 OABC の辺 OB，OC を，それぞれ 2：1，1：3 に内分す
３
四面体 OABC の辺 OA，OB，OC をそれぞれ 1：2，1：1，2：1 に
る点を P，Q とする。△APQ の重心を G とし，直線 OG と平面
内分する点を順にD，E，F とする。頂点 O と △DEF の重心 G を通
ABC の交点を H とする。OA＝，OB＝，OC＝とするとき，次
る直線が，3 点 A，B，C の定める平面 ABC と交わる点を P とする
の問いに答えよ。
とき，OP を OA，OB，OC で表せ。
解答
(1) OGを，，を用いて表せ。
(2) OHを，，を用いて表せ。
解答
(1)　点Pは辺OBを2：1に内分するから，OP=
2
2
OB= b
3
3
点Qは辺OCを1：3に内分するから，OQ=
1
1
OC= c
4
4
8
OA + OP + OQ
1
2
1
= a+ b+ c
3
3
3
4
1
2
1
c
= a+ b +
3
9
12
9
よって　OG=
OD + OE + OF
3
8
b
1 a
2
=
+ + c
3 3
3
2
8
1
2
1
a+ b+
c
3
9
12
1
2
1
kc
= ka + kb +
3
9
12
OH= kOG = k
1
1
2
a+ b+ c
9
6
9
F
G
2
1
E
9
A
C
P
B
8
9
これを変形すると　OP-OA= s0OB -OA1 + t0OC -OA1
よって　OP= 0 1- s - t1 OA+ sOB+ tOC= 0 1- s - t1 a + sb + tc　…… ②
9
①，② から　k
k
2
a + b + kc = 0 1- s - t1 a + sb + tc
9
9
6
4 点 O，A，B，C は同じ平面上にないから
点Hは平面ABC上にあるので，
1
2
1
23
36
k+ k+
k =1 k =1 よって，k =
3
9
12
36
23
12
8
3
a+
b+
c
23
23
23
ゆえに　k
k
2
=1- s - t，
= s， k= t
9
9
6
k
k
2k
これを解くと　k =2
=1- 9
6
9
k =2 を ① に代入して　OP=
すなわち　OP=
２
2
D
また，P は平面 ABC 上にあるから，s，t を実数として AP= sAB+ tAC と表される。
(2)　Hは直線OG上にあるから，OH= kOG となる実数k がある。よって，
以上より，OH=
a
b
2
， OE= ， OF= c
3
3
2
1
点 P は直線 OG 上にあるから，OP= kOG 0 k は実数1 とおけて
k
k
1
1
2
2
OP= k a + b + c = a + b + kc　…… ①
9
6
9
9
9
6
OD=
=
Gは△APQの重心であるから，
OG =
O
OA= a，OB= b，OC= c とすると
2
1
4
a+ b+ c
9
3
9
2
1
4
OA+ OB+ OC
9
3
9
四面体 OABC の辺 OB，OC を，それぞれ 3：1，1：1 に内分する
点を P，Q とする。△APQ の重心を G とし，直線 OG と平面 ABC
の交点を H とする。OA= a，OB= b，OC= c とするとき，次の問い
４
四面体 OABC の辺 OA，OB，OC をそれぞれ 1：1，2：1，3：1 に
に答えよ。
内分する点を P，Q，R とする。点 O と △PQR の重心 G を通る直線
が平面 ABC と交わる点を K とするとき,
(1)　OG を a，b，c を用いて表せ。
OK を OA= a，OB= b，OC= c で表せ。
(2)　OH を a，b，c を用いて表せ。
解答
解答
(1)　点 P は辺 OB を 3：1 に内分するから　OP=
点 Q は辺 OC を 1：1 に内分するから　OQ=
3
3
OB= b
4
4
1
1
OC= c
2
2
G は △APQ の重心であるから
OG=
OP=
OG=
OA + OP + OQ
1
3
1
1
1
1
= a+ b+ c = a+ b+ c
3
3
4
2
3
4
6
8
点 K は直線 OG 上にあるから OK= kOG (k は実数) とおける。
9
(2)　H は直線 OG 上にあるから OH= kOG となる実数 k がある。
1
1
1
よって　OH= kOG= ka + kb + kc　…… ①
3
4
6
ここで，H は平面 ABC 上にあるから，CH= sCA+ tCB
となる実数 s，t がある。
=
1
2
3
a，OQ= b，OR= c であるから
2
3
4
1
2
1
a+ b + c
6
9
4
①，② から　1
1
1
ka + kb + kc = sa + tb + 0 1- s - t 1c
3
4
6
4 点 O，A，B，C は同じ平面上にないから　1
1
1
k = s， k = t， k =1- s - t
3
4
6
よって　1
1
1
4
k =1- k - k　ゆえに　k =
6
3
4
3
したがって　OH=
4
1
2
a+ b+ c
9
3
9
9
8 6 a+ 9 b+ 4 c 9
=
1
2
1
よって　k =
A
k
2k
k
a+
b+ c
6
9
4
ところで，点 K は平面 ABC 上にあるから　3
2
P
1
よって　OK= kOG = k
ゆえに　OH=OC+CH= c + 6s0a - c1 + t0b - c17
= sa + tb + 0 1- s - t1 c　…… ②
8
1
1 1
2
3
OP+OQ +OR 1 =
a+ b+ c
30
3 2
3
4
O
1
R
1
G
C
Q
K 1
B
2k
k
k
+
+ =1
6
9
4
36
6
8
9
したがって　OK=
a+
b+
c
23
23
23
23

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