1 次の各問に答えよ． (1) A 地点から 15 km 離れた B 地点まで行くのに，初めは時速 4 km で歩き，途中から時速 6 km で歩くことにする．A 地点を出発後，3 時間以内に B 地点に到着するためには，時速 4 km で歩ける距離は最大で km である． p (2) 半径 2 6 の円に内接する正三角形の 1 辺の長さはア C イである．ウ (3) 中心が (¡2; 3) で，y 軸に接する円の方程式は x2 + y2 + エ (4) 3n の一の位の数字が 1 になる正の整数 n の最小値はであり，3102 の一の位の数字はキ x¡ オ y+ カ = 0 である．クである． (5) 数直線上の集合 A = fx j 2 < x < 9g，B = fx j k < x < k + 2g（ただし，k は定数）において，A \ B が空集合となるような k の値の範囲は k 5 ケまたはコ 5 k である． (6) 白玉 3 個，赤玉 5 個の計 8 個の玉が入った箱の中から同時に 4 個の玉を取り出すとき，白玉も赤玉もともに取り出される確率は (7) 方程式 9x = サシスセ 3 の解は x = 27x である．ソタである． (8) 関数 f(x) = ¡2x3 ¡ 6x2 + 9 の極大値はチ，極小値はツである．（千葉工業大学 2013 ） -1- 2 次の各問に答えよ． (1) 関数 f(x) = 8 cos 2x + 9 tan2 x は，f(x) = 0<x< ¼ において，f(x) は x = 2 カキアイ cos2 x + ¼ のとき最小値ウ cos2 x ク < x < ソタ，ソタ <x< エオと変形できる．をとる． (2) x の不等式 loga (x + 1)2 > loga f9(x + 5)g の解は，a > 1 のとき，ケコであり，0 < a < 1 のときは，サシ ¡ < x < サシ，スセ < x スセである．（千葉工業大学 2013 ） -2- 3 次の各問に答えよ． (1) 数列 fan g (n = 1; 2; 3; Ý) が a1 = 1 an いる．bn = a10 = エオカ 3an 1 ，an+1 = 2 2n ¢ an + 3 (n = 1; 2; 3; Ý) とおくと，b1 = であり，an < (n = 1; 2; 3; Ý) で定められて，bn+1 ¡ bn = アイウ n が成り立つ． 1 をみたす最小の n はキクである． 50 (2) 平行四辺形 OABC において，辺 AB を 1 : 2 に内分する点を D とし，線分 CD を 3 : 4 に内分する点を E とするとき， ¡! ¡! OD = OA + ケコ ¡! OC; ¡! OE = サシ ¡! OA + スセ ¡! OC である．直線 OE と辺 BC との交点を F とするとき， ¡! OF = ソタ ¡! ¡! OA + OC であり，三角形 CEF の面積は平行四辺形 OABC の面積のチツテ倍である．（千葉工業大学 2013 ） -3- 4 1 2 x がある．点 A(2; 8) を通る直線 ` : y = t(x ¡ 2) + 8 4 （ただし，t は定数）と C との 2 つの交点を結ぶ線分の中点を M(X; Y) とするとき，次の問いに答えよ． O を原点とする xy 平面上に，放物線 C : y = (1) C と ` との 2 つの交点の x 座標を ®; ¯ とすると，® + ¯ = X= イ t，Y = ウ t2 ¡ エ t+ オカ D:y= の (4) からキク 5t5 キシキカ，キである．まで変化するときの M の軌跡は，放物線 x2 ¡ x + ケ 5x5 サカから t である．X; Y を t を用いて表すと，である． (2) M が直線 OA 上の点であるような t の値は小さい方から順に (3) t がアコの部分である．において，直線 OM が D に接するとき，X = まで変化するとき，線分 OM が通過する部分の面積はスセソタである．また，t がカである．（千葉工業大学 2013 ） -4-