共回転系でのオイラー方程式 氏名 平成 25 年 12 月 10 日 概要 流体力学における運動方程式の 1 つであるオイラー方程式を、共 回転座標系において書き下し LATEX で表示する． 1 ベクトル表示 角速度を Ω で回転する系では，位置 r において速度 v で運動する質量 m の質点には，見かけの力である ain = −mΩ × (Ω × r) − 2mΩ × v (1) の慣性力が働く．この慣性力は流体力学にも拡張可能であり，同じく角速 度 Ω の共回転系における運動方程式 (オイラー方程式) は ρ ∂v + ρ(v · ∇)v = F − ρΩ × (Ω × r) − 2ρΩ × v ∂t (2) と書き表すことができる．ここで ρ は流体の密度，F は働く外力である． 2 成分表示 式 (2) を x, y, z デカルト座標を用いて成分表示しよう．Ω = (0, 0, Ω) とし て z 軸を回転軸に設定し，位置と速度に関しては一般的表現 r = (x, y, z)， v = (vx , vy , vz ) を用いると，各成分は以下のようになる． ( ) ∂ ∂ ∂ 2 x • x 成分: ρ ∂v ∂t + ρ vx ∂x + vy ∂y + vz ∂z vx = Fx + ρΩ x + 2ρΩvy • y 成分: 自分で成分表示を求め，式を書き出せ． • z 成分: 自分で成分表示を求め，式を書き出せ． 1
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