講義ノート

第八回質点系の角運動量
物理学講義 I
2014 年 6 月 10 日
¶
前回のポイント
³
• 衝突前後の運動エネルギーの比をもとにしてエネルギー散逸の度合いを表すことができ、
これを反発係数という。
• ２つの物体の非弾性衝突において衝突による力は内力とみなせ、それ以外の力（外力）
の総和がゼロであれば運動量保存則が成り立つ。
µ
• ２つの物体の弾性衝突においては、運動量だけでなく運動エネルギーも保存する。
´
多数の質点 i から成る剛体の角運動量について考えよう（図 1）。剛体がその重心まわりに回転
運動していると考え、回転中心 O からの質点 i の位置を ri 、速度を ri とすれば、質点 i の角運動
量は、
Li = ri × mvi = ri × pi
(1)
となる。ここで質点 i の質量を m、運動量を pi とおいた。
i
O
図 1: 多数の質点 i から成る剛体。
この剛体全体の角運動量を、次の式で定義する。
∑
∑
L≡
Li =
ri × pi
i
(2)
i
剛体全体の角運動量が定義できれば、この剛体に働く外力のモーメントと合わせて回転運動の法則
が成り立つはずである。剛体に働く外力のモーメントを
∑
N=
ri × Fi
(3)
i
と定義すれば、剛体の回転の法則は、
dL
=N
dt
1
(4)
と書くことができる。
式（4）は次のように証明できる。式（2）の両辺を時間微分すると、
dL
dt
=
∑
dpi
dt
vi × pi + ri ×
i
=
∑
ri ×
i
=
∑
dpi
dt
=
∑
(6)
ri × (Fi +
i
∑
Fi←j )
j
ri × Fi +
(5)
∑
i
ri ×
i
∑
(7)
Fi←j
(8)
j
となる。
F
2
F1
2
F2<-1
F1<-2
1
図 2: 相互作用しながら運動する２質点系。
簡単のため図 2 のような２質点系を考えることにすれば、式（8）は
r1 × F1 + r1 × F1←2 + r2 × F2 + r2 × F2←1
(9)
となる。作用・反作用の法則より、F1←2 = −F2←1 となるから、式（9）は
r1 × F1 + r1 × F1←2 + r2 × F2 + r2 × F2←1 = (r1 − r2 ) × F1←2 = 0
(10)
となる（∵ F1←2 //(r1 − r2 )）。よって、
dL ∑
=
ri × Fi = N
dt
i
(11)
となる。もし剛体に働く外力のモーメントが N = 0 であるなら
dL
dt
∴L
= 0
(12)
= const.
(13)
となり、角運動量は保存する。
例: 回転軸から距離 l を保ちながら、質量 m の質点が回転運動している。角速度を ω とすれば、
角運動量の大きさは
L = mv × l = mωl2
2
(14)
ω
l
図 3: 回転軸まわりを回転する質点。
と表すことができる。ここで、腕の長さが l から l + ∆l(∆l > 0) に変化したとしよう。このときの
角運動量の大きさは
0
0
L = mω (l + ∆l)2
(15)
となる。今、この系には外力が加わっていないので外力のモーメントはゼロ、すなわち角運動量は
0
保存する。従って L = L が成り立つから、
0
ωml2
→ω
= ω m(l + ∆l)2
ml2
=
ω
m(l + ∆l)2
1
= (
)2 ω < ω
1 + ∆l
l
0
(16)
(17)
(18)
よって、腕の長さが伸びると角速度は小さくなる。
1
原点まわりの重心の回転と重心のまわりの回転の分離
i
r ’i
G
ri
R
O
図 4: 重心 G まわりに自転しながら、回転中心 O まわりを回転運動する剛体。
重心 G まわりに自転しながら、回転中心 O まわりに回転（公転）する剛体（質量 M ）の運動を
考えよう（図 4）。剛体を構成する質点 i の位置ベクトルは
0
ri = R + ri
3
(19)
0
と表すことができる。ここで R は重心の位置、ri は重心からみた質点 i の位置ベクトルである。
式（19）の両辺に質点の質量 mi をかけて i で和を取れば、
∑
mi ri
∑
=
i
mi R +
i
= MR +
∑
∑
0
mi ri
(20)
i
0
mi ri
(21)
∑
∑
mi ri
mi ri
i
R= ∑
= i
M
i mi
(22)
i
∑
ここで、 i mi = M を用いた。
一方で、重心の定義から
なので、式（21）と式（22）から
∑
0
mi ri = 0
(23)
i
となる。
この系の全角運動量を求めよう。式（1）の定義に従えば、全角運動量 Ltot は、
Ltot =
∑
Li
=
i
∑
ri × pi
(24)
i
=
∑
i
=
0
0
˙ + r˙ )]
(R + ri ) × [mi (R
i
R×(
∑
˙ +
mi ) R
i
=
˙ +
R × MR
∑
∑
(25)
0
˙ +R×
mi ri × R
i
∑
i
0
0
ri × mi r˙ i
0
mi r˙ i +
∑
0
0
ri × mi r˙ i
(26)
i
(27)
i
≡
0
LG + L
(28)
となる。ここで式（26）において、式（23）の結果から第二項が 0 になる。また式（23）の両辺を
∑
0
時間微分することで i mi r˙ i = 0 となることから、第三項も 0 になる。
式（28）において定義した
LG
0
L
˙
≡ R × MR
∑ 0
0
≡
ri × mi r˙ i
(29)
(30)
i
は、それぞれ回転中心 O まわりの重心の角運動量と重心まわりの角運動量である。従ってこの系
の全角運動量は、重心まわりの自転の角運動量に、重心の公転の角運動量を加えたものになる。
最後にこの系に働く外力のモーメントについても計算してみると、
Ntot
=
∑
ri × Fi
(31)
i
=
∑
0
(R + ri ) × Fi
(32)
i
∑
∑ 0
= R×(
Fi ) +
ri × Fi
i
≡ NG + N
4
(33)
i
0
(34)
となる。式（33）の第一項は
∑
Fi は外力の総和であるから、NG は回転中心まわりの外力のモー
メントということになる。また、式（33）の第二項は重心座標系で見た外力のモーメントになって
i
0
いるので、N は重心まわりの外力のモーメントということになる。
¶
この回のまとめ
³
• 剛体（質点系）の角運動量と外力のモーメントを定義した。
• 剛体の角運動量と外力のモーメントの間にも回転運動の法則が成り立つ。
• 剛体の全角運動量は重心まわりの自転の角運動量に、重心の公転の角運動量を加えたも
のになる。
• 剛体に働く外力のモーメントは、回転中心まわりの外力のモーメントに重心まわりの外
力のモーメントを加えたものになる。
µ
´
5

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