080 解答

080_共通解問題の解法
練習問題解答
共通解問題の解法
練習問題解答
⎧⎪ ax 2 + (a 2 + 4) x + 4a = 0 " ①
１． ⎨
とおく．
x 3 + ax 2 − ax − 4 = 0 " ②
⎪⎩
①において， a = 0 のとき， 4x = 0 より x = 0
これを②に代入すると， −4 = 0 となり適さない．
したがって， a ' 0 である．
このとき，①を因数分解して
( x + a )(ax + 4) = 0
∴ x = −a , −
(ⅰ) x = − a のとき，②に代入して
−a3 + a3 + a 2 − 4 = 0 a 2 = 4
(ⅱ) x = −
4
a
∴ a = ±2
4
のとき，②に代入して
a
64 16
− 3 +
+4−4 = 0
a
a
分母を払って整理すると
a2 = 4
∴ a = ±2
よって，(ⅰ)，(ⅱ)から求める定数 a の値は
a = ±2
⎧⎪ x 2 + ax + 1 = 0
" ①
２． ⎨
2
2
⎪⎩ x + 2 x + a + a − 5 = 0 " ②
a とαは判読できるように
きちんと書くこと．
の共通解をαとおくと，
混同しそうな場合は共通
2
" ③
⎪⎧ α + aα + 1 = 0
⎨ 2
2
⎪⎩ α + 2α + a + a − 5 = 0 " ④
解を p などとおくとよい．
が成り立つ．
③－④ から
(a − 2)α − (a 2 + a − 6) = 0
(a − 2){α − (a + 3)} = 0
よって
a=2
または
(ⅰ) a = 2 のとき
(a − 2)α − (a − 2)(a + 3) = 0
α = a+3
①，②は x + 2 x + 1 = 0 で一致し， ( x + 1) = 0 より共通解 x = −1 （重解）をもつ．
2
(ⅱ)
2
α = a + 3 のとき③に代入して
(a + 3) 2 + a (a + 3) + 1 = 0
整理して
2a 2 + 9a + 10 = 0
(2a + 5)(a + 2) = 0
a = −2 のとき，
2
2
①は x − 2 x + 1 = 0 ( x − 1) = 0
－1－
∴ x =1
∴ a = −2 , −
5
2
http://www.geocities.jp/ikemath
②は x + 2 x − 3 = 0
( x − 1)( x + 3) = 0
2
∴ x =1, − 3
したがって，共通解 x = 1 が存在する．
5
のとき，
2
5
2
①は x − x + 1 = 0 (2 x − 1)( x − 2) = 0
2
5
2
②は x + 2 x − = 0 (2 x − 1)(2 x + 5) = 0
4
1
したがって，共通解 x =
が存在する．
2
以上，(ⅰ)，(ⅱ)より求める ( a , x) の組は，
⎛ 5 1⎞
(a , x) = (2 , 1) , (−2 , 1) , ⎜ − , ⎟
⎝ 2 2⎠
a=−
1
,2
2
1
5
∴ x= ,−
2
2
∴ x=
３．①，②の共通解を p とおくと，
2
⎪⎧ p + ap + 12 = 0 " ③
⎨ 2
⎪⎩ p + 2 p + 6a = 0 " ④
が成り立つ．
③－② より
(a − 2) p − 6(a − 2) = 0
(a − 2)( p − 6) = 0
よって
a=2
または
p=6
(ⅰ) a = 2 のとき，①，②は一致して x + 2 x + 12 = 0 となり，共通解は x = −1 ± 11 i
の 2 つ存在してしまうから不適．
(ⅱ) p = 6 のとき，③から
2
36 + 6a + 12 = 0
∴ a = −8
逆にこのとき，
①は x − 8 x + 12 = 0
( x − 6)( x − 2) = 0
∴ x=6,2
∴ x = 6 , −8
②は x + 2 x − 48 = 0 ( x − 6)( x + 8) = 0
よって，共通解 x = 6 をただ 1 つもつから適する．
ゆえに，(ⅰ)，(ⅱ)から求める a の値と共通解は
a = −8 , 共通解 x = 6
2
2
⎧⎪ x 2 + ax + b = 0 " ①
3
⎪⎩ x + bx + a = 0 " ②
４． ⎨
とおく．①が異なる実数解をもつためには
判別式 D = a − 4b > 0
2
∴ b<
また，①，②の共通解をαとおくと
－2－
1 2
a " ③
4
080_共通解問題の解法
練習問題解答
2
⎪⎧ α + aα + b = 0 " ④
⎨ 3
⎪⎩ α + bα + a = 0 " ⑤
が成り立つ．
④×α－⑤ より
aα 2 − a = 0
a(α − 1)(α + 1) = 0
ここで， α > 0 であることから a = 0 または α = 1
(ⅰ) a = 0 のとき
2
①は x + b = 0
3
2
②は x + bx = 0 x( x + b) = 0
③より b < 0 であるから，ともに x = ± −b の実数解を 2 個もってしまうので適さな
い．
したがって， a ' 0 " ⑥
(ⅱ)
α = 1 のとき，④より
1+ a + b = 0
∴ b = −a − 1 " ⑦
このとき，
①は x + ax − ( a + 1) = 0
2
( x + a + 1)( x − 1) = 0
x = 1 , − a −1
( x − 1)( x 2 + x − a) = 0
②は x − ( a + 1) x + a = 0
x = 1 または x 2 + x − a = 0
よって，
2
ここで，x = 1 がただ 1 つの共通解であるためには，x = − a − 1 が x + x − a = 0 の
よって，
3
解であってはならないから
(− a − 1) 2 + (− a − 1) − a ' 0
a 2 ' 0 すなわち a ' 0
整理して，
これは⑥に含められる．
ゆえに，③，⑥，⑦より求める実数 a，b の満たす条件は
b<
1 2
a , b = −a − 1 , a ' 0
4
b
3
また，点（a，b）の存在範囲を図示すると，
右図の直線 b = − a − 1 上の点となる．
ただし，2 点 ( −2 , 1) , (0 , − 1) を除く．
2
b=
1 2
a
4
3
a
1
-3
-2
-1
O
1
2
-1
-2
-3
－3－
b =-a -1

Download Report